felix hausdorff

B1.57 durch ai teilbar; sonst | ware 71 == Piai + o;, 0 < a < o^i, und es wiirde
y — PiVi = ax iiiH vorkommen, gegen die Wahl des kleinsten ai. Also besteht
H aus den Vielfachen von yi,H = [yi].
Schluss von n — 1 auf n. Wenn W C [^2,..., Xn], ist die Behauptung richtig.
Andernfalls kommen Elemente aiXi + ... mit 0:1 7^^ 0 in 7-^ vor; yi =
aixi + • • • + an^n sei ein solches mit kleinstem positiven ai. Fiir jedes in H
vorkommende y = 71X1 + • • • + 7na:n ist dann 71 = (iiai durch ai teilbar
(Beweis wie oben); y — Piyi — z ist dann frei von xi, liegt also in [0:2,..., Xn],
und diese z bilden eine Untergruppe von [x2,..., Xn], also nach Annahme einen
Bl. 58 Modul [2/2,. •., Vm\ {m < n). Nun ist offenbar W = [7/1,2/2, • • •, 2/m]- |
Hilfsformel fiir Matrizen.
(^)
Q^t
a, ... a^
sei eine rechteckige Matrix mit m Zeilen, n Spalten, kurz eine Matrix (m, n); die
Elemente etwa willkiirliche Variable. Ebenso B = (^^) eine Matrix (n,p) {i =
1,..., m; j = 1,..., n; fc = 1,... ,p) und F = A5 die Produktmatrix (7^),
eine Matrix (m,p) mit den Elementen
Es sei a}i'./.}'^ die r-reihige Determinante
< • • • "7'
^i^ • • • ^}:
die mittels der Zeilen ii,...v und der Spalten J'i,...,jr gebildet ist; wenn
zi,...,V nicht alle verschieden oder ji,...jr nicht alle verschieden sind, ist
diese Determinante = 0. Sind die i alle verschieden und die j alle verschieden
und bedeutet TT^ eine Permutation der zi,...,v, sg TT^ = ±1, jenachdem TT^
B1.59 gerade (ungerade) ist, so ist |
(links steht das, was aus Q^}^'"}'^ durch TT^ wird); dasselbe gilt fiir eine Permutation
TTj von ji,..., jV •
Wir behaupten nun:
il...ir ^ V^ il-.-ir 0Jl...jr
lki...kr Z^ jl---jr'^^ki...kr'
D. h. die r-reihigen Determinaten von T sind Produktsummen der r- reihigen
Determinanten von A und B.
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