felix hausdorff

132 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
Bevor wir umgekehrt die in sich kompakten Mengen als dyadische
darstellen, verallgemeinem wir die letztgenanntenfolgendermaBen. Im voUstandigen
Raum E sei ein System abgeschlossener, beschrankter, von Null
verschiedener Mengen Wi, Wij^^ Wij^y... gegeben, wo nun jeder Index eine
endliche, eventuell von den vorangehenden Indices abhangige Menge von
mindestens zwei Ziffern durchlauft. In Wi sei also i = 1, 2, . . ., m; in
Wij, sei A = 1, 2,. . ., m^; in Wij^i sei Z = 1, 2,. .., niij^ usw. (m, m^-, m.jt,. ..
^ 2). Fur jede in dieser Weise gebildete Ziffernfolge (i, /c, Z, . ..) sei
mit Durchmessern, die nach 0 konvergieren, so daB der Durchscbnitt dieser
Mengen einpunktig ist; die Summe
(4) P = ^W,Wi,Wi,i...
heiBe eine polyadische Menge. Man schlieBt wie oben, daB
und die Konvergenz der Durchmesser iiach 0 gleichmaBig ist. In Wahrheit
ist sogar P nichts anderes als eine dyadische Menge, wie wir folgendermaBen
erkennen.
Wir bezeichnen die Mengen TV^, Wi^,. . . allgemein mit W, die aus
einem W durch Anhangung eines weiteren Index entstehenden Mengen mit
W^, W^, .. . (z. B. fiir W = Wn^ • W^ — ^iici)- Sodann werden wir Mengen
Fp, Vj)qy. . . mit dyadischen Indices (1 oder 2) bilden, die wieder allgemein
mit V bezeichnet werden; die aus V durch Anhangung eines weiteren
Index entstehenden Mengen seien V^, V-. Dabei soil entweder V gleich
einem einzelnen W
[oC) V = W,
oder V die Summe mehrerer W mit gleiclwielen Indices
(iS) F = T^i + I'Fii 4- • • •
sein, wobei die Summanden in lexikographischer Ordnung der Indices
geschrieben sein mogen. Wir beginnen die Definition mit
und setzen sie durch Induktion fort, indem wir V\ V- definieren, falls F
bereits definiert ist: im Falle (a) sei
im Falle (/3) sei
Fi = Tyi-f. W'34. ...^ F2 = T'F2 + IF« +.-.;
Fi = IFi + IFiii 4- • • •, F^ = PF„ + TFiv + • • •.
Beispielsweise wiirden sich aus den ersten Mengen W
W^ W„ Ws
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