felix hausdorff

§ 29. Zusammenhang. 153
VII. Eine zusammenhdngende Menge C^ die zwei Punkte a, b {>on
Komplementdrmengen A^B(A + B — E) verbindet^ trifft die Begrenzung
dieser Mengen, Eine mehrpunktige zusammenhdngende Menge ist insichdicht
und mindestens i>on der Mdchtigkeit des Kontinuums,
Denn ware CAg = C (A^ + Br) = 0, so hatte man eine Zerstiickelung
C = CAi + CBi. Wahlt man speziell A als Menge der Punkte ax^Q,
B als Menge der Punkte arr > g, wo 0 < p < aft, so folgt, da6 C fiir jedes
dieser Q mindestens einen Punkt mit ax = q enthalten mu6, und damit
die zweite Halfte des Satzes.
Insbesondere ist ein mehrpunktiges Kontinuum perfekt. Eine endliche
Oder abzahlbare Menge ist punkthaft.
2. Lineare und lokal zusammenhangende Raume. In den linearen
Raumen (§ 20, 2), wo die Entfernung xy = \x — y\ auf einem Betrage
\x\ beruhte, der eine positiv homogene Funktion ersten Grades der Koordinaten
ist, sind die Strecken [rr, yl mit reellen Zahlenintervallen [a, A]
isometrisch, also zusammenhangend. Nach I sind also die konpexen
Mengen (die mit zwei Punkten re, y auch ihre Verbindimgsstrecke
[x, y] enthalten) zusammenhangend, so der ganze Raum, eine offene
Kugel (Umgebung), eine abgeschlossene Kugel u. dgL Weiter ist ein
Streckenzug
(o) [XQ^ Xi^ X^i . . ., ^n—lf ^n\ = V^m ^iJ ~t~ L^l? **'2J -J- * * * +L^n--1) ^nl
als Spezialfall einer Kette (S. 152) zusammenhangend und damit jede
Menge, in der sich zwei Punkte durch einen (der Menge angehorigen)
Streckenzug verbinden lassen; so ist in der Euklidischen Ebene (oder im
E.,^ fiir m^_2) die Menge J der irrationalen Punkte zusammenhangend,
denn sind re, y zwei Punkte von / und z ein dritter Punkt, der auf keiner
der (abzahlbar vielen) Geraden liegt, die x oder y mit einem rationalen
Punkte verbinden, so sind x^y in J durch den Streckenzug [re, 2, i/] verbunden.
— Fiir eine offene Menge im linearen Raum oder in einem konvexen
Teilraum ist diese Zusammenhangsbedingung (Verbindung durch
einen Streckenzug) nicht nur hinreichend, sondern auch notwendig. Denn
ist G off en und G{x) die Menge der Punkte j/, die sich mit XBG durch einen
Streckenzug [re,. .., y] in G verbinden lassen, so ist G{x) offen, weil fur
Uy^G jeder Punkt zeUy mit y durch [?/, 2]gf/y, also mit re durch
[re,. .., ?/, z] verbunden ist. Zwei Mengen ^(re), G{y) sind entweder disjunkt
oder identisch. Demnach hat man wie bei der Zerlegung in Komponenten
(4) G = G(x) + G{tjy+G{z) + '-.
Ist nur ein Summand vorhanden, so ist G = G{x) zusammenhangend; sind
zwei oder mehrere vorhanden, so liefert
G^Gix)+[G{y) + G(z) + '^']
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