felix hausdorff

spater in den Grundzugen Borelsche Mengen nannte. Ein Intervall / = (a, h)
ist mefibar und soil das Mafi ii{I) — h — a haben. Sind E^ E' mefibar und ist
E' C E, so soil auch E\E' mefibar sein mit ii{E \ E') = fi{E) - ^i{E'). Sind
{E^}ieN mefebar und paarweise disjunkt, so ist auch E = U^^ mefibar und es
gilt
(
oo \ oo
\jEA=Y,ti{Ei).
Die meSbaren Mengen sind dann etwas vage so definiert:
Les ensembles dont on pent definir la mesure en vertu des definitions
precedentes seront dits par nous ensembles mesurables, [• • -J^^
Sie entstehen also aus den Intervallen durch die sukzessive angewandten Operationen
der Komplementbildung und der abzahlbaren disjunkten Vereinigung.
Die Schritte in diesem Prozefi fiihren, ausgehend von den offenen Intervallen,
zu den Mengenklassen der Borelschen Hierarchie; bei BOREL selbst kann man
von dieser Hierarchie bestenfalls etwas ahnen.
Am Beginn von BAIRES Dissertation [B 1899] stand der Zweifel, ob ein so
allgemeiner Funktionsbegriff wie der von DiRiCHLET akzeptiert werden kann;
im Hinblick auf die DiRlCHLETsche Definition heifit es bei BAIRE:
On ne s'occupe pas, dans cette definition, de rechercher pax quels moyens
la correspondance pent etre efFectivement etablie; on ne cherche meme
pas s'il est possible de I'^tablir.^^
Er selbst stellte sich das Ziel, Funktionenklassen abzugrenzen, die durch allgemein
akzeptierte analytische Methoden erzeugt werden konnen. Das wichtigste
Ergebnis in dieser Hinsicht war die Einfiihrung der nach ihm benannten
Funktionen: Die Baireschen Funktionen / : M^ -^ R bilden die kleinste Funktionenklasse,
die alle stetigen Funktionen enthalt und abgeschlossen unter der
Bildung punktweiser Limit es ist. BAIRE definiert sie induktiv: KQ sei die Klasse
der stetigen Funktionen. Fiir eine Ordinalzahl £, < oJi ist / G K^, falls
f{x) = lim fk{x) ist mit fk e K^^, ^k < C
k^ oo
und / fiir kein fi < ^ bereits in K^ liegt. Die Funktionenklassen K^ bilden die
sogenannte Bairesche Hierarchie. BAIRE untersuchte insbesondere die Klassen
Ki und K2', z. B. gab er notwendige und hinreichende Bedingungen dafiir an,
dafi f E Ki ist.^^ Mit der Unterscheidung von Mengen erster und zweiter Kategorie
schuf er ein wichtiges Instrument fiir die Untersuchung von Punktmengen.
Eine Synthese und inhaltliche Weiterentwicklung der Ideen von BAIRE und
BOREL erreichte LEBESGUE in seinem umfangreichen Aufsatz Sur les fonctions
representables analytiquement ([Le 1905]). Verschiedene Autoren haben diese
Arbeit sogar als den Beginn der deskriptiven Mengenlehre betrachtet. So heifit
es in der Topologie von ALEXANDROFF/HOPF:
i^[Bo 1898], S.48.
1Q[B 1899], S.l.
20 Satz VIII, S. 255 in HAUSDORFFS Mengenlehre.