felix hausdorff

Dann sei $i, wieder nach II (hier auf die identische Abbildung von P auf P
angewandt), eine so feine Unterteilung von $, dass die Zerlegung
in die oflFenen Sterne von $i Verfeinerung von V wird, und endlich entspreche
die Verfeinerung
Bl. 86 I von U^ einer Zerlegung von Q in die ofFenen Sterne einer geniigend feinen
Unterteilung ^i von ^. Die Nerven von U^,V^ sind $1,^1.
Der weitere Fortgang des Beweises ist wortlich so wie im Fall endlicher Komplexe,
darauf beruhend, dass bei den Homomorphismen
m^i) -^ w($i) -^ H{^) -^ n{^)
die zusammengesetzten Homomorphismen H(^i) —> W(^) , H{^i) -^ H{^)
BL 87 Isomorphismus der linken Gruppen auf die rechten sind. |
§4C. Homologiegruppen abzahlbarer Komplexe^
5/5 40
2. Gruppenfolge mit direkten Homomorphismen.^
Es sei Tin (^ = 1,2,...) eine Folge von Abelschen Gruppen und fiir jedes n
ein Homomorphismus hn von Tin in Wn+i gegeben (nicht, wie in §4 A, Nr. 6
einer von Hn+i in Wn- Diese damaligen Homomorphismen konnen invers, die
jetzigen direkt genannt werden). Fiir jedes Xn G Hn ist also
bestimmtes Element von 7Yn+i- Wir betrachten „gebundene" Restfolgen
wo fiir n > /i stets Xn-\-i — hnXn'-, x ist durch ihr Anfangsglied Xh eindeutig
bestimmt. Die Restfolge x und
heissen gleich, x = y, wenn sie final gleich sind, d. h. fiir ein I {> h^ > k) Xn =
2/n fiir n > /. Die Gleichheit ist transitiv. Als Summe x -\-y wird die Folge
{xi +2//,xz+i +2/Z+1,...)
fiir I > h^k erklart. Die Restfolgen bilden eine Gruppe H = (Wi, W25 • • O^ ^^^
jedenfalls das Nullelement 0 = (Oi, O2, • • •) — (^2,03,...) = • • • enthahlt (On
BL 88 das Nullelement von Hn)- \ Fiir m < n besteht der zusammengesetzte Homo-
^[Die folgenden Blatter sind eine vorlaufige Version des § 4B vom 10. 6.1940 (BIL 72 ff.)-
Am Rande hat HAUSDORFF vermerkt: „(Zweckmassiger §4B, 10/6 40)." Wir haben sie hier
trotzdem abgedruckt, um zu zeigen, wie HAUSDORFF in einer Zeit schwierigster Lebensurnstande
das Problem der topologischen Invarianz der Homologiegruppen immer wieder
bearbeitet hat, bis das Ergebnis seinen Anspriichen geniigte (vgl. den Auszug aus HAUS-
DORFFs Brief an J. O. MULLER, dieser Band, S. 887).]
^[Die Numerierung hat HAUSDORFF nachtraglich von 1. zu 2. geandert; er wollte also zuerst
den Abschnitt „Naturliche Homomorphismen" (Blatt 88 Mitte ff.) abhandeln.]
970