felix hausdorff

296 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
bilden, wenn der Durchschnitt
der Bilder von A^U^,..., A^U^ tm alle i < Q nichtleer ist; insbesondere
ist dann der Durchschnitt D^ = q>(Uj) .. . (p(U^) nichtleer.
(G) Wenn bei der heliebigen Abbildung (p(x) de$ separablen Raumes A
die n Mengen Ui^ (A = 1,..., n) ein kokdrentes System bilden und ^(U^,)
eine hochstens abzdhlbare Basis i^on Uj^ ist, so gibt es in dieser Basis zwei
disjunkte Mengen Uj^i, Uj^2 derart, dafi die 2n Mengen Uj^i^ Uj^^ ein kokdrentes
System bilden,
Sei y^sD^j^i^ also fiir jedes k in ^^4.1 Ui^ ein Urbildpunkt von y^
vorhanden: y) (y^) A^^^ Uj, = y)^^^ (y^) f/^. ^ 0; da y)^+i (y) die Koharenz
von y)^(y) ist, ist y)^(y^) Uj^ unendlich^). Es gibt also in ^(Uj,)
zwei von ^ abhangige disjunkte Mengen £^M(^)> ^k^i^)^ ^i® ^^^ V^^iV^)
nichtleeren Durchschnitt haben. Aber von solchen Systemen von 2n
Mengen i/j^i? ^kzS^^^ ^s hochstens abzahlbar viele verschiedene;mindestens
eines muB unabzahlbar oft vorkommen, und fiir unabzahlbar viele f
ist also
Uki{^) = Uj,^, U,^(^) = U,,,
W (2/1) Uj,i > 0, y)^ (y^) Uj,2 :=> 0,
(piA^U^^^) (p(A^U^^). . . (p(A^U^i) (p{A^U^2):::>0.
Diese letzte fiir unabzahlbar viele ^ richtige Ungleichung gilt aber fiir
alle 1^, da die A^ mit wachsendem ^ abnehmen, also bilden die 2n Mengen
^11? • • M ^«2 ^i^ koharentes System.
IV. Bei einer halbschlickten stetigen Abbildung des separablen (^ollstdndigen
Raumes A gibt es ein f mit ^^ = 0; A ist also spaltbar,
Wir beweisen: wenn alle A^ r^ 0^ so ist die stetige Abbildung y = (p(x)
nicht halbschlicht. A selbst bildet ein koharentes System, also gibt es in
S3i (mit den Bezeichnungen wie beim Beweise von II) zwei disjunkte
C/i, C/g, die ein koharentes System bilden, sodann in SSgC^^) zwei disjunkte
Upi^ Vp2, derart, dafi C/u, f/12, f72i> ^22 ®^^ koharentes System bilden usf.
Damit tritt I in Kraft; die Bedingungen (1) sind jetzt dadurch verwirklicht,
dafi die Bilder der Mengen eines koharenten Systems nichtleeren
Durchschnitt haben.
[150] V. Eine B-Menge ist bei jeder halbsehlichten Baireschen Abbildung
spaltbar, d. h, Summe abzahlbar i^ieler B-Mengen, die schlicht abgebildet
werden.
Dies wird auf IV so zuriickgefiihrt wie III auf II. 1st y ~ q){x) halbschlichte
Abbildung der ^-Menge A und zunachst stetig, so ist bei der
halbsehlichten stetigen Abbildung y= (p(Hi)) == v(^) (vgl. den Beweis
1) Ist Pfi die Ableitimg, Ph = PPfi die Koharenz von P und U offen, so ist nach
§ 23, (13) {PU)^^PpU^PhU\ ist PhU>0, so kann PU nicht endlich sein.
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