felix hausdorff

88 Fiinftes Kapitel. Mengensysteme.
eindeutig zugeordnet (z.B. X = M^M^M^... oder X = M^\- M2 + M^^ ),
so daB also 0 eine eindeutige Funktion der Mengen M^ bedeutet. Wahlt
man auf alle moglichen Weisen die Mengen M^ aus einem gegebenen
Mengensystem 2K, so durchlauft X ein Mengensystem X. Wir behaupten
dann:
[42] I. Fiir jedes ^ > 1 ld[k sick eine niir von | abhdngige Funktion (P|
so bestimmen^ da^
(8) X = 0^{M,, 714 M,,. ..) (M^em)
genau die von SO? erzeugten Borelschen Mengen B^ darstellL
DaB X genau die JB^' darstellt, soil naturlicli heiBen, daB X alle B^
und keine andern Mengen darstellt, oder daB X das Mengensystem X = 33^
durchlauft.
Der Beweis ist sehr einfach. Setzen wir
(9) (&,(ilfi, Mg, M3,...) = il/i 3/2 M^.,,^
so stellt X = 01 genau die M$ — B^ dar.
Wenn fcrner die Funktion 0^ bereits definiert ist, so erhalten wir,
gemaB der Bildung der 5^+^ aus den B^^ eine geeignete Funktion 0|-j_i
auf folgende Weise. Wir spalten die Menge der natiirlichen Zahlen in
abzahlbar viele abzahlbare Teilmengen, etwa nach dem dyadischen
Schema S.30. Fiir ungerades | setzen wir dann
(10) = 0^{M,, M,, M,,. . .) + 0^[M.^, M,, M\,,, . .)
I + 0^(M^. M,,, M.,,, ...) + •••
und fiir gerades |