felix hausdorff

die zugleich AF^ , AG^ sind, befinden sich jedenfalls die Mengen AH*^ , aber
nicht jede relativ zweiseitige ist ein AH^. (Z.B. a = 0; wenn X zusammenhangend
ist, sind nur 0 und X die Mengen if ^, wahrend in A^ wenn es
nicht zusammenhangend ist, auch noch andere zugleich offene und abgeschlossene
Mengen als 0 und A existieren). Wenn jedoch A ein F^ (a > 0) ist, so
ist jede Menge Ai, die zugleich AF^ , AG^ ist, von der Form AH^ ; denn Ai
und A2 = A — Ai sind disjunkte F^ und lassen sich (1. Trennungssatz) in disjunkte
Xi, X2, die H^ sind, einschliessen, dann ist A C Xi-\-X2, Ai = AXi
{Ai c AXu A2 C AX2, AXi ^A- AX2 cA-A2 = Ai).\ BL2
(1) Es sei A c X, A^ = AQn in A ein G^ {Qn = G^). Dann giebt es
eine Menge P D A, die ein F'^ ist, derart dass die Mengen Xn — PQn
(fiir die ja AXn — APQn — AQn = An ist) mit den Mengen An dhnlich
sind (d. h. mit An^ • • • Am, — 0 ist X^ • • • Xnj, = 0; insbesondere mit
An = 0 auch Xn = 0).
Sei Q die Summe aller Q^i • * • Quk ^^ ^ni • • • ^n^ = 0 (oder aller Qm • • •
Qnk C X - A)] Q ist zu A disjunkt, P = X - Q D A, Q ist ein G"^,
P ein F^. Fur A^ - - An^ = 0 ist Qm'Qnk C Q, PQu^'Quk = 0,
Xn^ ' ' ' Xnk = 0 •
(2) Es sei ^ c X ein F^ {a > 0), An in A sowohl G^ als F^, also
An = AQn (Qn ^iu H^). Dauu giebt es Mengen Xn = H^ , die mit den
Mengen An ahnlich sind, und fiir die AXn = ^n; fells die An disjunkt
und ^An — A^ kann ^ Xn — X gemacht werden.
Wir setzen Xn = Qn — ^ Qm ' • • Qn^ ? erstreckt liber diejenigen ni,..., n^ <
n, fiir die An^- " Anj^ = 0. Die Summe enthalt endlich viele Summanden, sie
und Xn ist ein H^ . Wir haben AXn = AQn — An • Fiir A^ • • • Any, = 0 und
max[ni,..., n^] = n ist | X^ • • • Xn,, C Qm • • • Qn^ z^ Xn disjunkt: BL3
1st insbesondere Yl^n = A, so modifizieren wir zunachst die Qn so, dass
^Qn — X wird. Ist noch J2Qn — 'S' 7^ X, also A C S, so sind A und
X — S disjunkte F^; nach dem 1. Trennungssatz giebt es ein Qo = H^ mit
X — 5 C Qo J ^Qo = 0. Wir fligen (nachdem wir fiir An — ^ auch Qn = 0
gesetzt haben) das Qo einem Qm ^ 0 hinzu, wodurch A{Qni + Qo) — AQm =
Am sich nicht andert; schreiben wir wieder Qm statt Qm + Qo , so ist nun die
Summe der Qn gleich S-\-Qo = X. - Sind weiter die An disjunkt, so reduziert
sich die Ahnlichkeitsforderung darauf, dass mit An auch Xn verschwindet und
dass zwei Xn mit verschiedenen Indizes disjunkt sind; dies wird erreicht durch
(fiir An — 0 ist Qn = Xn = 0); es bleibt
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