felix hausdorff

eine zyklische Gruppe; x ist Element von der endlichen Ordnung /i, wenn hx = 0
und h die kleinste natiirliche Zahl dieser Art ist. Die ganzen rationalen Zahlen,
die rationalen Zahlen, die ganzen Zahlen (Restklassen) mod m bilden (bei der
gewohnlichen Addition) solche Gruppen; z.B. hat in der Gruppe mod 14 das
Bl. 39 Element 2 die Ordnung 7. |
Homomorphismen und Faktorgruppen.
Die Gruppe Q^ heisst homomorphes Bild von Q, wenn jedem x G G eindeutig
ein x' G G' zugeordnet ist, was wir in der Form
schreiben (x' ist eindeutige Funktion von x); dabei soil x\ das Bild von x, die
ganze Gruppe G' durchlaufen, und das Bild einer Summe die Summe der Bilder
sein,
x-\-y ^ x' -hy'.
Wir schreiben auch G —^ G^, homomorphe Abbildung von G auf G' oder Homo-
B1.40 morphismus von G auf G'- \
Umgekehrt heisst fiir x -^ x' x ein Urhild von x'\ x' kann mehrere Urbilder haben,
die Abbildung braucht nicht umkehrbar eindeutig (eineindeutig, schlicht)
zu sein. Wenn sie es ist, nennen wir G' isomorphes Bild von ^; offenbar ist
dann auch G isomorphes Bild von G' •> so dass wir
X x', G G'
schreiben konnen; die isomorphen Gruppen ^, G' stimmen dann, bis ev. auf die
Bezeichnung der Elemente, iiberein.
Beispiel: G sei die Gruppe der ganzen rationalen Zahlen x, G' die Gruppe
der Restklassen mod m; bedeutet x' die Restklasse, der x angehort (d. h. die
Klasse aller Zahlen = x mod m), so ist x ^^ x' ein Homomorphismus von G auf
G'' Jedem x' entsprechen als Urbilder die Zahlen einer Restklasse.
Sei a, eine Untergruppe^ von G- Zwei Elemente x, y aus G heissen kongruent
B1.41 mod H, X = y (H), wenn \ x — y ^ H. Hiernach verteilen sich die Elemente
von G auf Restklassen mod H (auch Nebengruppen von H genannt); diese
Restklassen bilden eine Gruppe G\ wenn man die Addition der Restklassen in
natiirlicher Weise so erklart: sind x\y^ die Restklassen, denen x,y angehoren,
so sei x' + y' die Restklasse, der x -\- y angehort (sie hangt von der speziellen
Wahl von x,y nicht ab; ist x = xi^y = yi (H), so ist auch x-\-y = xi-\-yi (W),
denn {x -}- y) — {xi -\- yi) = {x — xi) -\- {y — yi) gehort zu H; man sieht hier,
welche RoUe die Kommutativitat spielt.) Die Zuordnung x —^ x' definiert einen
Homomorphismus von G auf G' - Die Gruppe G' wird als Faktorgruppe oder
Quotientengruppe G \ H bezeichnet (man soUte sie allerdings hier eher als
Differenz G — H bezeichnen).
Im vorangehenden Beispiel ist Ji die Gruppe der Vielfachen von m.
Ist andererseits G —^ G' ein Homomorphismus, so bilden die Urbilder des
BL42 NuUelementes 0' von G' eine Untergruppe H \ von G (aus x ^^ 0',y ^ 0' folgt
^Bei nichtkommutativem Q wiirde man eine invariante Untergruppe nehmen.
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