felix hausdorff

248 Neuntes Kapitel. Reelle Funktionen.
einer Folge stetiger Funktionen ist wieder stetig), so tritt der dortige Satz
XII in Kraft. Die M sind mit den offenen Mengen G, die N mit den abgeschlossenen
Mengen F des Raumes identisch (§ 22, III). Also:
I. Die stetigen Funktionen f und die Grenzfunktionen g, A, /* aufsteigender,
absteigender, konifergenter Folgen (^on stetigen Funktionen sind
mit den Funktionen der Klassen (G, i^), (G, *),(*, i^), (i^^, G^) identisch.
Die/* werden d]&Funktionen der ersten (B air eschen) Klasse bezeichnet,
was in § 43 auf hohere Klassen ausgedehnt werden wird. Die Funktionen
[124] der Klassen (G, *), (*, F) heiBen halbstetig^ und zwar die der Klasse (G, *)
unterhalb stetig, die der Klasse (*, JF) oberhalb stetig\ diese Namen sollen
sogleich erlautert werden. Mit Riicksicht darauf, dafl hier die Mengen JP, Q
mit den J/, N und die Funktionen k mit den / zusammenfallen, nehmen
Einschiebungs- und Erweiterungssatz die Form an:
II. Ist g unterhalb stetig, h oberhalb stetig und uberall g^h^ so gibt es
eine stetige Funktion f mit g^f^h.
III. Eine in der abgeschlossenen Menge F definierte stetige Funktion
lupt sich zu einer im ganzen Raume A stetigen Funktion erweitern.
Die Bezeichnungen „oberhalb und unterhalb stetig" (nach oben, nach
unten halbstetig) ruhren davon her, da6 die Stetigkeitsbedingung hier in
zwei Halften gespalten wird. Eine Funktion j{x) ist an der Stelle a stetig,
wenn es fiir jedes a > 0 eine Umgebung Ua gibt, fur deren Punkte xeVa
\i(x)~f(a)\ 0 eine Umgebung C/^ existiert, in der
f{x)~f{a) -a,
so heifit fix) im Punkte a unterhalb stetig, Zur Veranschaulichung bemerken
wir, dafi man z. B. aus einer stetigen Funktion durch VergroBerung (Verkleinerung)
des Funktionswertes f(a) allein, ohne Anderung der umgebenden
Werte /(a:), eine oberhalb (unterhalb) stetige Funktion erhalt. Ist
/(a) = ± 1, sonst uberall f(x) = 0, so ist f{x) im Punkte a i^^^^^n^ stetig.
Ist f(x) oberhalb stetig, so ist — f(x) unterhalb stetig.
Ist f(x) an der Stelle a unterhalb stetig, so ist a innerer Punkt jeder
Menge [/ > y], der er angehort, und nee ^ersa. Denn ist /(a) > y, und wird
0 < a < f{a) — y gew^lt, so ist in einer gewissen Umgebung Ua noch
f(x) > f(a) — a> y, a innerer Punkt von [/ > y]. Ist umgejcehrt die
genannte Bedingung erfiillt, so ist a innerer Punkt von [/ > f(a) — a]
fiir jedes or > 0 und es gibt eine Umgebung U^^ in der f{x) > f(a) ~ o*, f(x)
ist in a unterhalb stetig. Danach folgt: damit f(x) an jeder Stelle unterhalb
stetig sei, ist notwendig und hinreichend, dafi jede Menge [/ > y]
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