felix hausdorff

also {xj-^ ... Xj^Xhi '.. Xhq ... } ein (ev. singulares) Simplum in $. - Hieraus
resultiert also ein bestimmter Homomorphismus von W(^) in H{^).
1st Z eine dritte Zerlegung R = Y^ Zk, ^ ihr Nerv mit den Ecken Zk,
und ist Z Verfeinerung von y, so | ist Z auch Verfeinerung von X (jedem Bl. 142
Zk entspricht mindestens ein Yj D -^fc? jedem Yj mindestens ein Xi D Yj,
also jedem Zk mindestens ein Xi D Zk). Der hierdurch bestimmte Homomorphismus
H{n) -> H{^) ist derselbe, der sich durch Zusammensetzung von
H{Q>) -^ H(^), W(^) -^ 7iC($) ergiebt. Unterscheidet man namlich die mittelbare
Verfeinerung des Q von $, wo dem Zk erst alle Bilder yj und dann
deren Bilder Xi zugeordnet werden, und die unmittelbare, wo dem Zk alle Xi
mit Xi 2 Zk zugeordnet werden; es kann ja sein, dass Xi 3 Zk auch ohne
Zwischenschaltung eines Yj moglich ist. Die unmittelbare Verfeinerung ordnet
den Zk also eventuell mehr Ecken zu als die mittelbare, aber dadurch wird ja
der Homomorphismus H{Ct) —^ H{^) nicht geandert.
Als Homologiegruppe der Zerlegung A! bezeichnen wir die des Nerven $. Ist
X = (A'l, Af2,...) eine Zerlegungsfolge, wo Xn-\-i Verfeinerung von JMn ist, Hn
die m. Homologiegruppe von Af^, so heisse H — {Hi^H2, • • •) die m. Homologiegruppe
der Zerlegungsfolge X. Fiir eine Teilfolge X = {X^^, Af^s,...) I i^t Bl. 143
die Homologiegruppe H — {Hm, Wns ? • • •) mit H isomorph, da der unmittelbare
Homomorphismus Hn —^ Hm (^ < ^) derselbe ist wie der mittelbare
(D) Kompakte Rdume.
Im metrischen Raum R sei X eine Menge, q ein Punkt, S{X, q) = untere Entfernung
des q von X = untere Grenze von pq flir p e X. Aus pqi < pq2 + qiq2
folgt 5{X,qi) < S{X,q2) + 91^2, ^{^IQ) ist stetige Funktion von q] hieraus
folgt, dass fiir (5 > 0 die Menge
X{S) = Menge der Punkte q mit S(X, q) < S
abgeschlossen ist; X{0) ist die abgeschlossene Hiille von X, also bei abgeschlossenem
X mit X identisch; wenn J^ > 0, (5n -^ 0, ist der Durchschnitt der
X{Sn) gleich X{0). Fiir zwei Punkte pi,p2 von X und zwei Punkte ^1,^2 des
Raumes ist
qiq2 < qiPi +P1P2 +^2^2 < qiPi + d{X) -\-p2q2,
d{X) der Durchmesser von X {X sei beschrankt); hieraus folgt, indem man
nach pi,p2 die untere Grenze der rechten Seite | nimmt: BL 144
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