felix hausdorff

jahrhundert spater gelang ANDERSON^^^ eine verbliiffende Antwort: aufier der
Kreislinie gibt es, modulo Homoomorphie, genau eine homogene, lokal zusammenhangende
Kurve - die MENGERsche Universalkurve! ANDERSON betont:
The universal curve [• • • ] is not planar, is connected and locally connected,
but is very badly neither simply connected nor locally simply connected.
Homologically, it is about as "bad" as any 1-dimensional continuum
can be, but it is so "bad" that it turns out to be both homogeneous and
characterizable in quite general terms. ^^^
Ferner gelang ANDERSON^^^ eine weitere elegante topologische Charakterisierung
der MENGERschen Universalkurve mittels folgender Eigenschaften:
1. 17 ist eine Kurve,
2. [/ ist lokal zusammenhangend,
3. U hat keine lokalen Schnittpunkte,
4. planare Teilraume von U sind nirgends dicht in C/^^^.
Aus dieser Charakterisierung folgt iibrigens, da6 das von KOLMOGOROFF^^^
zum Nachweis stetiger offener, dimensionserhohender Abbildungen auf voUig
andere Weise konstruierte eindimensionale Kontinuum, modulo Homoomorphie,
nichts anderes ist als die MENGERsche Universalkurve.
Die Arbeiten URYSOHNS und insbesondere MENGERS bildeten Basis und Beginn
einer Strukturtheorie fiir Kurven (Zusammenhangszahl, Geschlecht, Verzweigungspunkte,
n-Beine, regulare Kurven, rationale Kurven, Baume, zyklische
Kontinua, Zerlegungssatze, Deformationssatze, Erreichbarkeitssatze u. s. w.)
Die Darstellung dieser Theorie und ihrer historischen Entwicklung ist jenseits
der Ziele des vorliegenden Beitrags.
Literatur
[And 1958a] ANDERSON, R. D.: A characterization of the universal curve
and a proof of its homogeneity. Ann. of Math. (2) 67 (1958), 313-324.
[And 1958b] ANDERSON, R. D.: One-dimensional continuous curves and a
homogeneity theorem. Ann. of Math. (2) 68 (1958), 1-16.
119 [And 1958a], [And 1958b].
120 [And 1958a], S. 313-314.
121 [And 1958b].
122Insbesondere zeigt ANDERSON, daB jeder ofFene Teilraum von U, modulo Homoomorphie,
eine der beiden folgenden nicht planaren Raumkurven enthalt:
The primitive skew curve of Type 1, is the gats-water-electricity-example, i.e.,
consists of two disjoint sets of three vertices each and the nine arcs joining
the vertices from different sets in pairs, the arcs being disjoint except for their
endpoints. The primitive skew curve of Type 2, is the one-skeleton of a 4simplex,
i. e., consists of five vertices and ten arcs joining these vertices in pairs,
the arcs being disjoint except for their endpoints. ([And 1958b], S. 7.)
123 [Kol 1937].
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