felix hausdorff

Diese Quader Qk^ 13 Qkik2 ^ * * * ? deren Durchmesser nach 0 konvergieren,
haben einen einzigen Punkt
^K = QkiQkik2Qkik2k3 ' ' '
B1.4 I gemein; B sei die Menge aller dieser b^,, wofiir wir offenbar auch
k\ k\k2 kik2ks
schreiben konnen.
Es sei Fi die (n — l)-dimensionale Begrenzung von Pi im Raum En,
N
F=&Fi und (^(Q) = (F,0)
1
die Menge der Punkte y = {x, 0) (d. h. mit ^ = 0) fiir x e F. Wie zuvor werde
dies auf jeden Quader Q' libertragen. Wir setzen sodann
c = ^{Q)+Y. ^(^^i) + Y. ^(^^1^2) + • • • •
k\ k\k2
Da alle diese Summanden abgeschlossen und (n — l)-dimensional sind, ist C
(n — l)-dimensional. Nunmehr sei A = B -\- C und wir woUen diese Menge als
schwach n-dimensional nachweisen.
(1) Fiir 6 G 5 ist dim^yl = 0 (also erst recht dim^^ = 0 und demnach
B1.5 dimB==0).|
Zunachst ist klar, dass in ^{Q) + Ylk Qki 2 A jeder Summand Qki sowohl
abgeschlossen als offen ist, also ist AQki in A abgeschlossen und offen.
In (p{Qki) + Ylk2 Qkik2 2 ^Qfci ist Qkik2 abgeschlossen und offen, also
AQkiQkik2 = ^Qkik2 in ^Qki (und demnach in A) abgeschlossen und offen.
So fortfahrend sieht man, dass b = b^ in A beliebig kleine abgeschlossene Umgebungen
AQk^, AQk-^k2i • • • hat, also A in 6 nulldimensional ist.
(2) Wir sagen: ein (kompaktes) Kontinuum K C Q durchsetzt Q, wenn K die
beiden Seiten ^ = 0 und ^ = 1 trifft; entsprechend wieder fiir irgend einen
Quader Q'.lstO