felix hausdorff

$(Pi, P2, Ps, • • •) = Pi, und man konnte das Argument des vorliegenden Satzes
auf alle offenen Mengen anwenden. Diese aber werden nicht unter beliebigen
Homoomorphismen erhalten: z. B. ist das Einheitsintervall [0,1] offen im polnischen
Raum [0,1] und nicht offen im polnischen Raum IR. V. K. /P. K.
[109] (S. 214) Satz II
Dieser Satz geht auf W. SIERPINSKI, Sur les ensembles mesurables B, Comptes
rendus Acad. Sci. Paris 171 (1920), 24-26 zuriick. Ohne Verwendung des
Begriffs „absolut" besagt der Satz:
Eine Teilmenge X eines vollstdndigen Raumes A sei topologisch homoomorph
zur Teilmenge Y eines metrischen Raumes B. Wenn K eine der Klassen G^,
^ > 1 oder aber die Klasse der Suslinmengen ist, und wenn X ein K in A ist,
dann ist Y ein K in B. Also sind die Borelschen Klassen G^, ^ > 1 ebenso wie
die Klasse der Suslinmengen topologisch absolut (s. Anm. [58]).
Ein entsprechendes, aber tiefer liegendes Result at liber die Klassen F^ liefert
Satz II* aufS. 218. V.K./P.K.
[110] (S.214) Satz III
In [H 1924], dieser Band, S. 443-453 beweist HAUSDORFF diesen Satz in der
pragnanten Form: „ Jede Menge Gs in einem voUstandigen Raum ist mit einem
vollstandigen Raum homoomorph". Letzteres ist dazu aquivalent, da6 die Menge
eine vollstdndige Metrik besitzt, die mit ihrer Topologie vertraglich ist. Zuvor
hatte ALEXANDROFF, Comptes rendus Acad. Sci. Paris 178 (1924), 185-187,
dieses Resultat fiir den separablen Fall bewiesen.
Die Eigenschaft „X ist Gs-Menge in einem vollstandigen metrischen Raum"
ist eine innere topologische Eigenschaft von X und hangt nicht von dem umgebenden
vollstandigen Raum ab. Diese innere Eigenschaft ist gerade die vollstdndige
Metrisierbarkeit Z. B. ist die Gs-Menge / C IR aller irrationalen Zahlen,
die in der Metrik von IR nicht vollstandig ist, dennoch voUstandig metrisierbar.
Sie ist homoomorph zum vollstandigen B aire-Raum !N=IH'^(S. §37 der Mengenlehre).
V.K./P.K.
[Ill] (S.216) Satz IV
Dieses „Theoreme fondamental" von M. LAVRENTIEFF, Contribution a la theorie
des ensembles homeomorphes, Fund. Math. 6 (1924), 149-160, kann auch
folgendermafien formuliert werden:
Sind A und B voUstandige metrische Raume, dann kann jeder Homoomorphismus
zwischen Mengen X C A und Y C B zn einem Homoomorphismus
zwischen Mengen X^ und Y' erweitert werden, wobei X C X^ C A^Y CY' C B
und X\ Y' jeweils Gs-Mengen in A bzw. B sind. V. K. /P. K.
[112] (S.218) Satz II*
Satz II * stammt von LAVRENTIEFF, als KoroUar zum Erweiterungssatz IV, s.
die in der vorigen Anm. zitierte Arbeit. Somit sind alle Borelschen Klassen,
beginnend mit Gs, sowie die Klasse aller Borelmengen und die Klasse aller
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