felix hausdorff

§ 21. Konvergenz. 103
gleich der ihrer Projektionen: z^^z^^x-^x^. — Man kann diese Produktbildung
ohne weiteres auf jede endliche Zahl von Faktoren ausdehnen.
§ 21. Konyergenz.
1. Im metrischen Raume E sei (a^j, o^g,. . .) eine Punktfolge. Wenn es
in E einen Punkt x gibt derart, daB die Entfernung xx^ mit yi -> oo nach 0
konvergiert:
lim xXn=^ 0 oder xx,j^ -> 0,
so heiBt die Folge in E konvergent und x ilir Limes (Grenzpunkt), in Zeichen
lim x^ — X oder x^-^ x,
Es kann natiirlich nur einen solchen Punkt geben, denn aus a:rr„->0,
yx^->Q folgt nach dem Dreiecksaxiom xy = 0, x = y. AUgemeiner: fiir
zwei in E konvergente Folgen x^-^x^ yn-^V ist
(1) ^nVn-^^y-
Denn nach der Dreiecksungleichung ist
^^iVnS^n^ + ^y -T-yyn,
Xy