felix hausdorff

von alien Ecken von $ verschiedene Ecke x zugeordnet; sodann bilde man einen
Komplex ^, dem die folgenden Simpla angehoren soUen:
{a) wenn T D S ein Simplum in $ ist, das S enthalt, etwa
T = {XQXI ... XmXm-}-! • - • Xn}, gehoren alle Simpla To = {xxi... XmXm^i... Xn},
Ti = {a:o:rX2 . . . XmXm-^l . . . Xn} • • • , Tm = {XQ . • • Xm-lXXm-\-l • • • Xn} ZU ^, die
aus T dadurch entstehen, dass man eine der Ecken XQ ..., Xm von S durch x
ersetzt;
(/?) die Teilmengen der in (a) genannten Simpla gehoren zu ^,
(7) die Simpla von $, die nicht S enthalten, gehoren zu ^.
Wir sagen: ^ entsteht aus ^ durch die einfache Unterteilung x —^ S. (Hierbei
werde m > 1 angenommen. Fiir m == 0 wiirde ^ aus ^ einfach darduch
entstehen, dass man die Ecke XQ jetzt x nennt).
Umgekehrt geht ^ wieder in $ liber dadurch, dass man x durch eine Ecke
Bl. 119 von S ersetzt; wenn man z. B. | x durch XQ ersetzt, geht TQ in T und Ti,..., Tm
in singulare Simpla C T iiber.
Der durch einfache Unterteilung von $ entstehende Komplex ^ ist eine Verfeinerung
von $.
Die Ecken von $ seien XQ,. .. ^Xr, die von ^ sind XQ,. .. ,Xr,x] schreiben
wir die letzteren fiir den Augenblick yo,.. .,yr^y und ordnen jedem yj {j =
0,..., r) das Bild Xj, dagegen dem y als Bilder alle Ecken XQ, ..., x^ von S
zu, so ist das gesamte Bild jedes Simplums in ^ ein Simplum in $. Z. B. hat
das erste Simplum in (a) TQ = {yyi,..., ymym-\-i • • • 2/n} das Bild $ (To) =
{XQXI ..., XmXi... XmXm-{-i - - - Xn} = T; entsprcchendcs gilt von den librigen
Ti, ferner von ihren Teilmengen {P) und den unter (7) genannten Simpla.
Schreiben wir fiir die Ecken von ^ wieder XQ,. .. ,Xr,x. Wir haben m + 1
simpliziale Abbildungen von ^ auf $ (diesmal auf den ganzen Komplex),
Bl. 120 darin bestehend, dass | man (pi{x) = Xi (2 = 0,..., m) und ^i{xj) = Xj {j =
0,..., r) setzt; jedem Polynom B in ^ entsprechen m + 1 Bilder Ai = ^i{B),
die nach I alle homolog sind {AQ ^ -- - ^ Am), falls B ein Zyklus oder auch nur
B^ frei von x ist; und es entspringt daraus fiir die Homologiegruppen gleicher
Dimension (wir lassen die Dimensionsbezeichnung weg) ein Homomorphismus
von W(^) in H{^).
Hierbei gilt aber mehr:
II. Wenn ^ durch einfache Unterteilung aus ^ entsteht^ sind die gleichdimensionalen
Homologiegruppen beider Komplexe isomorph: 7i{^)