felix hausdorff

144 Sechstes Kapitel. Punktmengen.
dichte abgeschlossene Menge :::^0), Ferner lassen sich die GjrMengen
auch so charakterisieren:
E ist dann und nur dann eine Gji-Menge, wenn E — Ei steis in E
dicht ist.
Denn ist E — Ej stets in E dicht, so ist G :::5 0 kein Ej, ddi E — G = F
nicht in E dicht ist (i^^ = F 0, so ist in G — (E — A)G + AG der zweite Summand
ein Ej, also der erste ein Ejj und jedenfalls :>0. Aus G^O folgt also
(E — A)G^O, d. h. E - A ist in E dicht.
Mit E ist auch E ~ Ei eine Gn-Menge. Denn sei A in E, B in
E — A = D von erster Kategorie, so sind B und A + B auch in E von
erster Kategorie, also E — {A + B) = D — B in E und erst recht in D
dicht; D ist eine Menge, fiir die D — Djin D dicht ist, also eine Gn-Menge.
Jede Youngsche Menge ist eine Fjj-Menge; es gibt aber, wie wir spater
(§43,2) sehen werden, auch i^'u-Mengen, die keine Youngschen Mengen sind.
Jede Fji'Menge ist eine Gji-Menge, E sei eine i^u-Menge, G^O
offen, F == G^, ferner F — G = G^ — G == H die Begrenzung von G. Sie
ist in F nirgendsdicht (weil sie abgeschlossen und ihr Komplement
F ~ H = G in F dicht ist), also ein Fx; demnach ist G ein Fn und erst
recht ein Gu.
Es gibt aber auch Gjj-Mengen, die keine i^n-Mengen sind. Sei E
die Euklidische Ebene, A die Menge der irrationalen Punkte (i, 0) auf der
a:-Achse X; dann ist A ein Ei und D — E —- A wieder eine Gjj-Menge.
Sie ist aber keine jPjx'Menge, da die in ihr abgeschlossene Menge D X, die
Menge der rationalen Punkte (r, 0) auf der a;-Achse, in sich von erster
Kategorie ist.
Eine Bemerkung verdienen noch die Mengen F^, Summen von Folgen
abgeschlossener Mengen. Jede in E nirgendsdichte Menge A ist Teilmenge
einer in E abgeschlossenen nirgendsdichten Menge A^, also jede Menge
El Teilmenge einer Menge F^ — Ei\ die Mengen F^, die in E von erster
Kategorie sind, sind also die grofiten Mengen erster Kategorie in dem
Sinne, da6 sie und ihre Teilmengen alle Ei liefern. Es gilt noch:
Damit A =^ F^ ein Ei sei, ist hinreichend und im Fall einer GjyMenge
E auch notwendig, dap E — A in E dicht sei.
Denn ist A = ^F^ und E — A in E dicht, so ist erst recht E — F„
in E dicht, F^ in E nirgendsdicht und A ein Ej, Die andere Halfte der Behauptung
folgt aus der Definition der Gii-Mengen.
Ist der Raum E eine Fjj-Menge, so ist jedes A = G^::=>0 in sich
von zweiter Kategorie. Denn F = A^ ist ein Fii\ F — A ist ein F^j,
also in F von erster Kategorie, da sein Komplement ^ in JP dicht ist;
also ist ^ in i^ und erst recht in sich von zweiter Kategorie. In einer
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