felix hausdorff

Ecken Xi^yi) und [$], [^] lokal endlich, so sind [^], [^] homoomorph.
Zum Beweise bilden wir jedes Simplum [S] auf das entsprechende [T] affin ab;
das giebt eine schlichte Abbildung von [$] auf [^]. Dabei entspricht jeder abgeschlossenen
Menge F C [^] eine abgeschlossene in [^]; denn es ist F = J]] ^[^]^
F[S] hat als Bild eine abgeschlossene Menge FT-, und F hat das abgeschlossene
Bild Yl ^T- Da auch fiir die umgekehrte Abbildung dasselbe gilt, ist jene Abbildung
topologisch. I Ebenso: sind $, ^ isomorph, [$], [^] homoomorph und Bl. 98
[^] lokal endhch, so auch [^].
Einen lokal endlichen Komplex [$] zu gegebenem r-dimensionalen ^ kann
man z. B. in -R2r+i so konstruieren: es sei ^ eine bestimmte rechtwinklige Koordinate
des Punktes x G R2r+i\ wir wahlen die Ecken xi in allgemeiner Lage und
so, dass ^i ^> 00. Sei a irgendeine relle Zahl; flir i > ia ist dann ^z > a, und da
der Halbraum ^{^ > a) konvex ist, liegt jedes aus Ecken Xi mit i > ia gebildete
X
Simplum [S] ganz in ihm; der komplementare offene Halbraum (B{^ < a) = Ga
X
wird also nur von Simpla [S] getroffen, die mindestens eine der Ecken XQ, ..., Xi^
haben; solcher [S] giebt es nach (1) nur endlich viele. Ua — RGa ist also eine
finite offene Menge von R, und da. R = Ui -\- U2 -\- - - - a) enthalten, also
Ma < Mp. Ma < Mp < My < • • • giebt also bei passenden Indizes eine kanonische
Darstellung: wir schreiben wieder R = Ri -\- R2 -\- - " ., Ri < R2 < " •
Zu jedem Rn gehort ein endlicher Komplex ^^ niit Rn = [^n]; Ma gehort
zu dem Komplex, der aus Si,...,Sa und ihren Teilsimpla besteht. Es ist
^iC$2C---, ^ = Y1 ^n- Bezeichnet (wie immer fiir eine feste Dimension)
J^ni ^n, T^n, ^Hn die Gruppcu der Formen, Zyklen, Rander, Klassen homologer
Zyklen fiir $n, -^5 ^^ ^, T~t dasselbe fiir $, so ist (da die Polynome in $ nur
endlich viele Glieder haben soUten, also einem geeigneten $n angehoren)
mit aufsteigenden Summanden {Ti C J-2 C • • • u. s. w.). Was H und die Tin \
betrifft, so ist H die zu Anfang dieser Nr. erklarte Gruppe, deren Elemente die Bl. 100
Klassen x von $ (Klasse = Klasse homologer Zyklen) sind. Andererseits ist H
mit der in Nr. 2 erklarten Gruppe
W* = (7^1,^2, . • •)
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