felix hausdorff

A der Abschlufi von A in dieser neuen Topologie, und der zugehorige Begriff
der ^-reduziblen Menge ist aquivalent zu dem in Mengenlehre, § 30. Insbesondere
hat man die Zerlegung in Differenzenketten, aber um die ^-reduziblen
Mengen zu einem D^cj zu machen (zusammen mit ihren Komplementen), mu6
man die Separabilitat der ^-Topologie annehmen.
[2] Mit anderen Worten, das ^ hier ist die kleinste Topologie, welche die
urspriingliche Topologie und alle Pi als offene und zugleich abgeschlossene
Mengen enthalt.
[3] Die verfeinerte Topologie ist separabel, falls die urspriinglich gegebene separabel
ist, und die Indexmenge / ist abzahlbar. Folglich ist jeder 6-Ring von
Mengen in ^ abgeschlossen unter beliebigen Durchschnitten.
[4] Es ist nicht klar, ob man durch eine passende Wahl der Mengen Pi jede
der Klassen F(j etc. als ein ^ der hier in Rede stehenden Form erhalten
kann.
[5] Gegeben sei eine abzahlbare fallende und schliefilich verschwindende Folge
von Mengen A^ in einem 6-Ring O^o (eine solche ist z.B.diejenige Folge, die
die Zerlegung einer O^o-reduziblen Menge M in eine Differenzenkette liefert).
HAUSDORFF betrachtet die Partition E = UPI^^ ~ ^^+i) ? ^i^ wie in a. 2 oben
(Bl. 3) zu einem grofieren Ring ^^ fflhrt (a bezieht sich hier auf die Zerlegung
(oc) auf Bl. 4 und nicht etwa auf eine Ordinalzahl). Dies fiihrt zu einer
^cx-Zerlegung derselben Menge M in eine Differenzenkette ((3), welche aus
kleineren Mengen und kleineren Differenzen besteht. HAUSDORFF zeigt, dafi
dieser VerfeinerungsprozeB eine transfinite Iteration gestattet.
[6] Hier beginnt ein neuer Abschnitt. Gegeben sei ein 6-Ring ^ von Mengen
in einem separablen Raum E. 9^ soil alle abgeschlossenen Mengen enthalten.
HAUSDORFF zeigt, dafi dann fiir jede Menge A eine kleinste relativ zu A abgeschlossene
Menge Ad Q A existiert, so dafi A — A^ die Form N — N' hat,
wobei N, N^ e ^ der Beziehung N - N^ C A C N geniigen. Dies ist offenbar
dasselbe wie (B) im oben abgedruckten Fasz. 997 (Bl. 5v). HAUSDORFF
fiihrt dann die Konstruktion der Residuen aus und leitet die Darstellung von
0^-reduziblen Mengen durch 0^-Differenzenketten her.
[7] Hier beginnt wiederum ein neuer Abschnitt. HAUSDORFF modifiziert die
in Anm. [6] genannte Konstruktion. Die Modifikation ist in ((3) enthalten, wo
verlangt wird, dafi N die Vereinigung von A mit einer abgeschlossenen Menge
F ist (vgl. (A) in Fasz. 997, Bl. 5v).
[8] Hier wird wiederum die in Anm. [6] genannte Konstruktion betrachtet (die
Menge A^ ist dasselbe wie dort Ad). HAUSDORFF stellt hier folgendes fest:
Wahrend die abzahlbaren Differenzenketten von Mengen aus 0^ (einem gege-
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