felix hausdorff

entgegen der Forderung (1).
Demnach zerfallen die d ^ 0 in solche (positive), die ausser NuUen lauter
Einsen haben, und solche (negative), die ausser Nullen lauter Elemente —1
haben. Fiir ein positives d sei A die Menge der m, fiir die dm = '^'i fur ein
negatives d sei B die Menge der m, fiir die dm = —1; A und B sind nichtleere
Teilmengen von {1,2,..., n}.
Je zwei verschiedene Mengen A, A* sind vergleichbar, d. h. Ac A* oder
yl D A*. Andernfalls gabe es ein Z, das zu A und nicht zu A* gehort, und ein
m ^ l^ das zu A* und nicht zu A gehort. Fiir die entsprechenden d, d* ware
di = 1, dm = 0, d'l = 0, d^ = 1; dann wiirde aber d — d* weder ein positives
Bl. 4 noch negatives d sein {di — d^ = 1, dm — d"!^ = —1)\
Dasselbe gilt von den Mengen B.
Jedes A ist zu jedem B disjunkt. Denn sonst hatten wir ein gemeinsames
Element m und ein d, d* mit d^ = 1, d^ = — 1; dann wiirde d — d* kein d sein
{dm-d*^ = 2).
Demnach giebt es ein grosstes A mit p Elementen, ein grosstes B mit q
Elementen, wobei p -h q ^ n. Und weiter giebt es wegen der Vergleichbarkeit
hochstens p Mengen A, hochstens q Mengen B, zusammen hochstens p -\- q,
also hochstens n Elemente d ^^ 0; zusammen mit dem Element d = 0 hochstens
n+1. Q.e. d.
Einfacher: man zerlege Rn simplizial und nehme die baryzentrischen Sterne
dieser Zerlegung: mehr als n + 1 dieser Sterne haben keinen Punkt gemein.
NL HAUSDORFF : Kapsel 36: Fasz. 458
Schwach n-dimensionale Mengen
Hs. Ms. - [Bonn], 7.12.1933. - 8 BU.
Schwach n-dimensionale Mengen. 7.12.33
(Nach St. Mazurkiewicz, Sur les ensembles de dimension faible. Fund. Math.
13 (1929), S. 211-217)
Ist M separabel, dimM = n, so ist die Menge M'^ (der hochste Dimensionsteil
von M) der Punkte x von M, wo dim^ M = n, entweder (n — 1)- oder
n-dimensional, in welchem Falle M schwach oder stark n-dimensional ist.
Wir nehmen den Satz als richtig an:
I. Ist G ein Gebiet (offene, zusammenhangende Menge) des (n+l)-dimensionalen
Euklidischen Raumes En-\-i, A eine hochstens (n — l)-dimensionale Teilmenge
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