felix hausdorff

232 Neuntes KapiteL Reelle Funktionen.
konstant, Bei dieser paradoxen Beschaffenheit der unzerlegbaren Raume
ist es besonders merkwiirdig, daB ein (mehrpunktiger) L-Raum unzerlegbar
sein kann^ wie folgendes Beispiel zeigt. E sei eine Kreisperipherie, fiir deren
Drehungen um den Mittelpunkt wir einen positiven Sinn festsetzen; das
Zeichen q> bedeute eine Drehung um den festen Winkel 27cd,vfO d irrational
ist; der Punkt x von E gehe hierdurch in a;^, die Menge A^E in A^^
iiber. Als konvergent definieren wir erstens die konstanten Folgen
(re, re, X,. . .) mit dem Limes Xy zweitens die aus lauter verschiedenen
Punkten bestehenden, im gewohnlichen Sinn (auf Grund der elementargeometrischen
Entfernungen) nach einem Punkt x konvergenten Folgen,
diesen geben wir aber den Limes Xfp. Die beiden Limesaxiome sind erfiillt.
Dann ist Ai == A + (A')^, wo A' die Menge der Haufungspunkte von A
im gewohnlichen Sinn bedeutet. Wir behaupten nun, daB iiir E ~ A + B
mindestens eine der Gleichungen ^4^ = £, B^ = E besteht, wo mit die
Unzerlegbarkeit von E gezeigt ist. Liegen auf jedem Kreisbogen Punkte
von Ay so ist A' = E, Ax = £, also erst recht A^^ = E. Ist das Gegenteil
der Fall, so enthalt B einen Kreisbogen C (mit Endpunkten). Dann ist
C=^C,Cx = C+C^,Cu = C + C^+C^^ usw., C,^C + C^ + 6^,^+ -
und diese Menge ist die ganze I^eisperipherie, denn wenn x der mittelste
Punkt von C ist, so ist die Menge {a;, a;^, rc^^^,.. .} in E dicht (im gewohnlichen
Sinn). Also ist C^ = E, B^= E.
Neuntes Kapitel.
Reelle Funktionen.
[115] § 41. Funktionen und Urbildmengen.
1. Urbildmengen. Im Raume A (der zun^chst iibrigens nur eine reine
Menge, kein metrischer Raum zu sein braucht) sei eine eindeutige reelle
Funktion f(x) definiert, d. h. jedem Punkt xeA eine reelle Zahl f{x) zugeordnet.
Die Menge der Punkte rr, wo f(x)>y {y eine gegebene reelle
Zahl), werde wie in § 22 kurz mit [/ > y] bezeichnet; ebenso sind Mengen
wie [/ ^ ?/], [y y] uJ^d [/ < y] zu betrachten; statt der letzteren nehmen wir lieber
1) Ist auch X eine reelle Variable, so kommt noch Unterscheidung zwischeii
rechts und links in Frage.
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