felix hausdorff

290 Zehntes Kapitel. Erganzungen.
es dann ein nicht trennbaresMengenpaar A^^ J5^, sodann ein nicht trennbares
^ik^ ^pqy ^i^ nicht trennbares A^j^i, B^^j. usw. Wegen ^^gC^, B^^D^
(C^, D^ abgeschlossen) ist dann C^Dp r^ 0, ebenso C^j^Dj^q ^ 0, C^i^iD^gy ^ 0,...
1st nun E separabel, so konnen wir annehmen (S. 191), da6 die Durchmesser
der C, D mit wachsender Zahl der Indizes nach 0 konvergieren;
ist er iiberdies vollstandig, so hat die Folge der C^D^^ Cik^^pq, • •» einen Durchschnittspunkt,
der offenbar zu AB gehort. D. h. wenn A, B nicht trennbar
sind, so sind sie nicht disjunkt, oder:
[147] Im separablen ^ollstdndigen Raum sind zwei disjunkte Suslinsche
Mengen trennbar^ rf. h. in ihrer Summe Borelsche Mengen (§34, III).
Ferner sei
A == ^ C^C^jfi^j^i. . .
mit disjunkten Summanden darstellbar; es ist dann
A = ^Ai, A^ = ^A^]^, A^j^ = ^jAijcit . • *
% k I
mit disjunkten Summanden. Ist E separabel und vollstandig, so sind die
disjunkten Suslinschen Mengen A^ paarweise trennbar, also simultan
trennbar: es gibt disjunkte Borelsche Mengen P^^A^, die man iiberdies
durch C^P^ ersetzen, also g C^ annehmen kann. Ebenso gibt es disjunkte
Borelsche Mengen P^j^^A^j^^ P^j^^C^j,, wobei man noch P^^ durch PiPik
ersetzen, d. h. P^j. g P^ annehmen darf. So erhalt man
^i g ^t g C^, A^j. g P^jc g C^jg, Aij^i g P^j^i g C^j^i, . . .
P,^P,,^P,,,^.,,
Da aber A^A^j^A^j^i. , . = C^Cij^Cij^i . . ., so ist dies auch = PiPik^iki • • •.
^ ~ -^^i^ik^iki • • •
und da die Mengen P mit gleichvielen Indizes paarweise disjunkt sind,
so ist dies mit
gleichbedeutend, A ist Borelsch. Im separablen vollstdndigen Raum ist
jede mit disjunkten Summanden darstellbare Suslinsche Menge Borelsch
(§34, IV).
2. Erhaltung der JS-Mengcn. Die (eindeutige) Abbildung y =