felix hausdorff

well E abzahlbar ist, mit einer cj-Folge ai < a2 < • - • konfinal, V = X^(a, a^]
und PV < Q folgt aus (3). Ebenso hat man zum Beweis von PU < Q, wenn
U kein erstes Element hat und also mit einer a;* -Folge ai > a2 > " • koinitial
ist, (4) heranzuziehen.
Zwei verschiedene Klassen sind niemals benachbart. Wenn zwischen E{a) <
E{h) kein Element von E lage, so ware [a, h] C E{a) + E{b) und nach (2)
P[E{a) + E{h)\ < il, also /?[a, 6] < 1}, a ~ 6 im Widerspruch zur Annahme,
dass E{a), E{b) verschieden sind.
Der Typus der Klassenmenge ist also dicht, denn es kann nicht nur eine
Klasse geben, weil, mit E — E{a), PE < ft ware. Wahlt man aus jeder Klasse
ein Element, so hat die Menge dieser Elemente einen der Typen 77, H-?7, 77+1,
1 + ry + 1, q. e. d.
Anmerkungen
[1] Ml < M2 bedeutet, dafi flir mi G Mi und m2 G M2 stets mi < m2 gilt;
es kann dann die geordnete Summe Mi + M2 gebildet werden.
[2] Es ist nie eine Arbeit von KuREPA unter diesem Titel erschienen; das Result
at wurde erst viel spater in [Kur 1948] publiziert.
NL HAUSDORFF : Kapsel 41 : Fasz. 677
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch
und Fichtenholz
Hs. Ms. - [Bonn], [vermutl. Sept. 1936 - Marz 1938]. - 3 BU.
Zu meiner Arbeit: Uber zwei Satze von Kantorovitch und Fichtenholz (Studia
Math.)^
(1) Wenn A von der Machtigkeit m = m^° ist, so giebt es 2"^ abzahlbar
wesentlich verschiedene Abbildungen / von A in A, d.h. zu endlich
oder abzahlbar vielen verschiedenen fn giebt es immer ein x, wo alle
fn{x) paarweise verschieden sind.
Denn: M sei von der Machtigkeit m; x durchlaufe die hochstens abzahlbaren
Mengen C M, t alle Mengen c M. Die Menge A der x ist von der Machtigkeit
m^° = m, die der t von der Machtigkeit 2"^. Die Abbildungen f{x,t) = xt
(Durchschnitt) von A in A sind abz[ahlbar] wesentlich verschieden; denn zu
abzahlbar vielen verschiedenen tn wahle man aus jeder Menge {ti — tj)-\- {tj —
U) ^ 0 {i ^ j) einen Punkt und x sei die Summe dieser: xU ^ xtj .
Es giebt 2"^ abzahlbar unabhdngige Teilmengen Z von C (|C| = m), d.h.
flir abzahlbar viele verschiedene Zi, Zj ist Yl Zi - Yl{C — Zj) ^ 0.
f{x,t) Abb[ildungen] von A in A {\A\ = m), die abz[ahlbar] unabh[angig]
sind; t durchlaufe eine Menge v[on] d[er] Machtigkeit 2^. B = \ System der B1.2
^HAUSDORFF bezieht sich hier auf seine Arbeit [H 1936a].
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