felix hausdorff

104 F. Hausdorff.
OflPenbar ist (a;, y)eC gleichbedeutend mit x e Ay and dies damit,
dasB es eio n mit x e A„^ y eV„ gibt, d. h. es ist einfaeh
n
woraus unmittelbar folgt, dass bei offenen A^ auch C ofien ist.
Um zu zeigen, dass jedes in Z oflfene Q ein C ist, verstehen?
wir unter A^ die grosste in X oflfene Menge mit {A^j V„) ^ G (die
Summe aller in X oflfenen Mengen U mit {U, V„) ^ G). Die hiermit
gebildete Menge C ist also ^ G; andererseits hat aber jeder
Punkt {x^ y)€ G eine Umgebung (Z7, F„) ^ G und dann ist TJ'^ A^^
also
{x,y)e[A,, Vn)^C und G^C.
Der hiermit beendete Beweis von IV ist eine vereinfachte und
von alien tiberflitissigen Einschr^nkungen befreite Form des Beweises^
den die Herren Kantorovitch und Livenson ftir ihr Theorem
XII B (p. 255) gegeben haben.
477