felix hausdorff

in M^ abgeschlossen, also ein insichdichtes Gs : dies kann aber nicht abzahlbar
sein (sep[arabler] vollst[andiger] Raum).
Wenn A = G^s ^^^ Suslin-Komplement ist, so ist nach Hurewicz
A selbst ein Gs -
Sind alle Fu -Mengen in der Form Gss darstellbar? Das ware das extreme
Bl. 2 Gegenteil zur Hypothese H, wonach alle Gss selbst Gs sind. |
Es sei P = Ad = ID A^ Durchschnitt einer absteigenden f^-Folge Borelscher
Mengen. Wir sagen, diese Folge ist kanonisch, wenn flir jede Borelsche Menge
5 2 P schliesslich S 2 A^ ist (flir ^ ^ Co).
Eine Suslinsche Menge P ist Durchschnitt einer absteigenden kanonischen
Folge.
Denn (Mengenlehre § 34) P ist Durchschnitt der S^, und wenn P eine
zu P disjunkte Suslinsche Menge ist, so ist schliesslich S^P — 0 (S. 192);
insbesondere: ist 5 2 P eine Borelsche Menge, P ihr Komplement, so ist
schliesslich S^T - 0, S^ g S.
Ist umgekehrt der Durchschnitt einer absteigenden kanonischen Folge stets
eine Suslinsche Menge?
Man kann natiirlich entsprechend aufsteigende kanonische Folgen definieren;
die Suslin-Komplemente sind Summen von solchen. Aber auch die Lusinsche
Menge L (S. 262, Mengenlehre) ist eine solche; denn eine Borelsche Menge
Q L ist hochstens abzahlbar, da sie sonst eine perfekte Menge P {P Q L)
enthielte im Widerspruch dazu, das PL ein P/, also C P, ist (ist L ein Suslin-
Komplement?) (eine Susl[insche] Menge ist sie nicht). L = {XQ, ... ,Xa^,...}
ist also Summe der kanonischen Folge der Mengen {XQ, ... ,x^,.. .}^^ , da
diese jede Borelsche Q L schliesslich libertrefFen. Ihr Komplement K ist eine
P/j-Menge; ist sie ev[entuell] eine Suslinsche? Das ware eine Entscheidung der
[2] Hurewiczschen Frage dahin, dass es Suslinsche P//-Mengen giebt, die keine
Gs sind. Zugleich eine des von Lusin als unlosbar bezeichneten Problems, ein
Susl[in]kompl[ement] von der Machtigkeit Ki anzugeben (L ware ein solches).
(Wenn hingegen auch die Susl[inschen] P// -Mengen stets Gs sind, so sind die
[3] unabzahlbaren Susl[inschen] Kompl[emente] v[on] d[er] Machtigkeit b^!)
Bl.2v I Sierpinski hat bewiesen, dass fiir eine konvergente Q-Folge f^{x) —> f{x)
von Funkt[ionen] 1. Klasse auch f{x) von 1. Kl[asse] ist (Fund. Math. 1, S. 138).
Das ist eine Unterstiitzung fiir die Hyp[othese] K. Im Allg. braucht zwar nicht
schliesslich f^ = fzu sein (Beispiel: sei irgend eine Menge A = {ao,..., cic^,...}
v[on] d[er] Machtigkeit Ki gegeben und f^{x) — 0 bis auf f^{a^) = 1; diese
F[unktionen] 1. Klasse konvergieren nach f{x) = 0); vielleicht aber fiir eine
monotone Folge?
Die kanonisch darstellbar en Mengen diirften aber kaum eine RoUe spielen, da
im Falle der Kontin[uum]hypothese jede Menge so darstellbar ist. Wir zeigen,
dass jede Menge Q Summe einer kanon[ischen] aufsteigenden Folge Borelscher
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