felix hausdorff

ist genauer
K2-\-R2C jRi, i^i + Li c L2 .
Denn K2 + R2 ist zusammenhangend (da S lokal zusammenhangend ist, ist
S — K2 = R2 -\- {L2 + • • •) eine Zerstiickelung, K2 + R2 zusammenhangend);
da diese Menge d S — Ki\ {R2K1 = 0, weil Ki C L2), so ist sie in einer Bl. 7
Komponente von S — Ki, also in Ri enthalten.
Nunmehr zeigen wir (Satz (6) zu beweisen):
(A) Wenn F{U) nicht lokal zusammenhangend ist, hat U die Eigenschaft S
nicht.
F{U) enthalt ein Konvergenzkontinuum C = lini Cn {Cn, C disjunkte Kontinua).
Wir ziehen einen Parallelstreifen 5, derart, dass C iiber Q und un-
^ —
ter P Punkte hat; dasselbe gilt von den Cn (wenigstens schliesslich), und
Cn enthalt (nach dem Janiszewskischen Randsatz) ein Kontinuum Kn mit
KnP / 0 / KnQ; Kn ist ein Querschnitt, Rn und Ln seien rechtes und linkes
Komplement. Es muss in der Menge der Kn, die ja wie oben geordnet sind, eine
steigende oder fallende Folge geben; nehmen wir etwa sm Ki < K2 < Ks < " .
Also Kn C Rn-iLn-^i {u > l); da Kn C F{U), giebt es in beliebiger Nahe eines
Punktes von Kn — {P -\- Q) einen Punkt Xn ^ U, der noch in i^^-i^n+i
liegt. Wir konnen die Xn in beliebiger Nahe | der Mittelgeraden M des Streifens BL 8
annehmen (da MKn ^ 0) und dann e so klein, dass jede spharische Umgebung
U{xn,£) in S liegt. Eine zusammenhangende Menge vom Durchmesser < e, die
Xm enthalt und demgemass in S liegt, kann keinen Punkt Xn mit n — m > 2
enthalten, ohne F{U) zu treffen; denn Xm ^ i>m+i C Ln-i und Xn G Rn-i
werden in S durch Kn-i getrennt. Eine zusammenhangende Menge C C U
vom Durchmesser < e kann also nur endlich viele (hochstens drei) Punkte der
Menge {xi,X2,a;3,...} enthalten, und U kann nicht die Summe endlich vieler
solcher C sein: U hat die Eigenschaft S nicht.
(Im Raum Rs ist dies falsch. Ein ebenes Sinusoid und eine Kugelflache, in
deren Innern, bis auf einen Punkt, das Sinusoid liegt, begrenzen ein Gebiet U,
das sogar gleichmassig lokal zusammenhangt, weil offene zusammenhangende
Mengen im Kugelinnern durch Wegnahme eindimensionaler Mengen den Zu-
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