felix hausdorff

[105] (S.211) SatzIII
Der erste Teil des Satzes wurde bereits von LusiN, Sur la classification de
M. Baire, Comptes rendus 164 (1917), 91-94 (s. Anm. [87]) gezeigt. Im hier
vorliegenden Beweis induziert eine Darstellung
^ = U ^nxOFnin^n...
nin2...
einer Suslinmenge A mit abgeschlossenen Argument en F, deren Durchmesser
gegen 0 streben, mittels der Bedingung
/(ni,n2,...) G Fn^ H ^^^2 H...
eine stetige (partielle) Abbildung des Baireraums auf A. Wenn A Borelsch ist,
so konnen die Summanden der 74-Operation nach Satz II in § 34 paarweise
disjunkt gewahlt werden, wodurch die induzierte Punktion / injektiv wird. S.
dazu auch Anm. [93]. V. K. /P. K.
[106] (S. 212) Satz IV
Der erste Teil des Satzes folgt direkt aus Satz II. Der zweite Teil beruht darauf,
da6 Bilder von Funktionen auch Projektionen des Funktionsgraphen sind.
Die Aussage iiber Suslinmengen stammt von SUSLIN, Sur une definition des ensembles
measurables B sans nombres transfinis^ Comptes rendus Acad. Sciences
Paris 164 (1917), 88-91, Theoreme IV (s. Anm. [84]). Borelsche Mengen lassen
sich als Bilder injektiver Funktionen darstellen. Die Injektivitat bedeutet, dafi
die Funktionsgraphen P C X xY uniform sind, d. h. fiir jedes x e X gibt es
hochstens ein y ^Y mit (x, y) G P. Damit ist jede Borelmenge in R^ Projektion
einer uniformen Gs-Menge in R""^^ -= IR"" x IR. V. K. /PK.
[107] (S. 213) Satz I
Die Schwierigkeiten, diesen Satz und den darauf aufbauenden Satz II fiir abgeschlossene
Mengen statt fiir offene Mengen zu zeigen, wird durch eine einfache
Uberlegung aus dem Nachlafi HAUSDORFF, Fasz. 260 deutlich. Es sei
A = X = Y = R, und 5 C y sei das offene Intervall (0,1). (p sei ein ordnungserhaltender
Homoomorphismus von IR auf B mit ip{n) = 1 — ^ fiir alle n,
Setze Pn — [n, 4-oo). Dann ist (p{Pn) = [1 ~ ~51)? ^^^ j^^^ ^^ ^n korrespondierende
abgeschlossene Menge Qn ^ [1 — ^,1) mu6 1 enthalten. Dann aber
ist
n n
V.K./P.K.
[108] (S. 214) wachsender natilrlicher Zahlen
Fiir den Beweis von Satz I ist es essentiell, streng wachsende Folgen von Indizes
zu betrachten. Ware namlich TV = {iy} mit i/ = (1,1,1,...), so ware
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