felix hausdorff

Bilder des Nullraums 157
wo iV^i etwa eiix Intervall von N und g^^ von der Klasse 0,a ist. Sodann
ist Q als Summe abzahlbar vieler perfekter Mengen ein verdichtetes Fo
und entsteht nach II (tibrigens ist dieser Spezialfall natiirlich viel
schneller zu beweisen) aus N durch eine Abbildung 0,1; da iV^2^ ^ —^i
wieder mit N homoomorph ist, sei
^ = ^2(^2),
g2 von der Klasse 0,1. Wir haben jetzt {g=gi,g2 in ^i?-^2)
B = g{N),
g ist schlicht und stetig. Ist F in N abgeschlossen, so ist g^{N^F)==
= (B—Q)F''=BG6F''=BF^F''=BF''', g2{N2F) = QF^=FaF^=G^F^ und
dies ist, wenn a>l, ein F"" oder BF'\ Also g(F)=^BF'', g ist von der
Klasse 0,a.
Zum Schluss woUen wir noch die topologischen Bilder von N
charakterisieren, Sie sind jedenfalls Gd (separabel, topologisch voUstandig),
O-dimensional und insichdicht (= verdichtet); aber diese
Eigenschaften sind nocb nicht hinreichend, da sie z.B. auch kompakten
Mengen (dem Cantorschen Diskontinuum) zukommen konnen.
l^un heisst insichdicht: es gibt keinen isolierten Punkt, d. h. keine
einpunktige oder endliche offene Menge; N hat aber eine dariiber
hinausgehende Eigenschaft:
(K) Es gibt Iceine hompaUe offene Menge (+0).
Oder: jede offene Menge (?^=0 enthalt eine Folge ai ohne Haufungspunkt
in G\ in der Tat bilden im Intervall Ni^ i^ irgendwelche
Punkte cii^Ni^ i^i eine solche^), da sie paarweise die Entfernung
1/(A; + 1) haben. Die Eigenschaft K geht auch auf die mit N homoomorphen
Mengen iiber und ist nun mit den zuvor angegebenen
zusammen auch hinreichend:
Die mit dem Nullratim N homoomorphen Mengen sind identisch
mit den separablen, topologisch vollstdndigen, 0-dimensionalen Bdumen
X, die keine Jcompalcte offene Menge (=#0) enthalten.
1) Sogar ohne Haufungspunkt in N; auch G ist nicht kompakt; die kompakten
Mengen sind in N nirgendsdicht.
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