Dissertation - HQ

10 Introduction
biologique simple. Hastings & Botsford 30 proposent une autre condition
de persistance, détaillée ci-après, qui, elle, a une interprétation
biologique.
Considérons un ensemble de populations à générations non chevauchantes
(le résultat peut être généralisé à des populations avec survie
adulte). Sa dynamique est représentée par
N t+1 = CN t
(I.8)
où N t est le vecteur des abondances au temps t. C est une matrice
dont chaque élément c ij représente la contribution de la population j à
l’effectif de la population i. Les termes de la forme c ii représentent donc
l’auto-recrutement. Quand il existe un c ii ≥ 1, alors cette population est
auto-suffisante et la métapopulation dans son ensemble est trivialement
persistante (il restera toujours au moins la population auto-suffisante).
Qui plus est, dans ce cas, certaines autres populations puits peuvent
être maintenues. Hastings & Botsford 30 s’intéressent au cas non trivial
où tous les c ii sont strictement inférieurs à un (i.e. toutes les populations
sont localement des puits) et cherchent une condition de persistance
pour la métapopulation dans son ensemble.
Armsworth 31 avait déjà utilisé un raisonnement par l’absurde prouvant
que, pour que la métapopulation persiste, il faut qu’il existe, pour
chaque population, au moins un chemin de connexion fermé, la reliant
à elle-même. C’est-à-dire, par exemple, que la population 1 émette des
individus qui recrutent dans la population 2 et que la population 2, à
son tour, émette des individus qui recrutent en 1. Hastings & Botsford 30
arrivent au même résultat de façon algébrique en utilisant les propriétés
de la matrice
Q = C − I
(I.9)
où I est la matrice identité, i.e. les éléments de Q sont
q ij =
(
cij quand i ≠ j,
c ij − 1 quand i = j.
(I.10)
Les éléments |q ii| représentent donc le “manque à gagner” en autorecrutement
(1−c ij) pour chacune des populations, lequel doit être compensé
par les apports extérieurs pour que la population soit persistante.
Dans le cas simple de deux populations, la condition de persistance
pour la métapopulation dans son ensemble s’écrit finalement
q 12q 21
|q 11q 22| > 1 (I.11)
C’est à dire que les apports indirects (q 12q 21) doivent être supérieurs au
manque à gagner global en auto-recrutement (|q 11q 22|). Il est intéressant
de remarquer que les seuls apports qui contribuent à la persistance
de la population sont ces chemins de connexion fermés et que les flux
unidirectionnels n’ont aucun effet. Par exemple, dans le cas de trois populations,
q 12q 23q 31 intervient alors que q 12q 23q 32 (réseau qui ne retourne
pas vers 1) n’a pas de rôle dans la persistance de la métapopulation.