IntÃ©gration et ProbabilitÃ©s

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100Loi de la v.a. X Densité de P X Espérance Variance Fonction de répartition Fonction CaractéristiqueLoi GaussienneN(m,σ 2 ),où m ∈ R et σ ∈ R ∗ +1f X (x) = √2πσ 2 e−(x−m)2 2σ 2 m σ 2 ∫ xF X (x) = f X (t)λ 1 (dt)−∞ϕ X (x) = e imx− σ2 x 22Loi UniformeU ([0,1]) f X (x) = 1 [0,1] (x) 12Loi ExponentielleE(λ)avec λ ∈ R ∗ +1⎧⎨12 F X (x) =⎩0 si x < 0x si x ∈ [0,1]1 si x > 1{f X (x) = e−x/λλ 1 R ∗ (x) λ λ 2 0 si x < 0F+ X (x) =1 − e −x/λ si x 0ϕ X (x) =ϕ X (x) ={ e ix −1ixsi x ≠ 01 si x = 011 − iλxC.2 Lois absolument continuesLoi de Cauchy f X (x) =1π(1 + x 2 )n’existe pasn’existe pasF X (x) = 1 2 + arctan(x)πϕ X (x) = e −|x|
Bibliographie[1] Barbe, P. et Ledoux, M. Probabilités, De la licence à l’agrégation. Belin, 1998.[2] Bouleau, N. Probabilités de l’ingénieur, variables aléatoires et simulation. 2nde édition. Hermann, 2002.[3] Briane, M. et Pages, G. Théorie de l’intégration. Vuibert, 2006.[4] Foata, D. et Fuch, A. Calcul des probabilités. 2nde édition. Dunod, 2003.[5] Herrmann, S. Analyse Fonctionnelle et Probabilités. Polycopié de cours, ENSMN, Première année, 2004.[6] Neveu, J. Bases mathématiques du calcul des probabilités. Masson, 1970.[7] Rudin, W. Analyse réelle et complexe. 3ème édition. Dunod, 1998.[8] Rudin, W. Principe d’analyse mathématique. Dunod, 2002.[9] Revuz, D. Mesure et intégration. Hermann, 1997.[10] Revuz, D. Probabilités. Hermann, 1997.[11] Wagschal, C. Dérivation, intégration. Hermann, 1999.101
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Année 2009-2010Intégration et Pro
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Remarque 1.1 En probabilités, un e
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Remarque 1.3 Une tribu étant stabl
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Exemple 1.4 Soient (Ω, A) un espac
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Preuve de la proposition 1.15. Éta
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1.3.2 Un exemple : les fonctions é
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Preuve de la proposition 1.29.• S
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Remarque 1.21 Soit (Ω, A,µ) un es
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1. Montrons que µ est bien défini
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• Supposons I fini. Nous pouvons
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D’après (i), (ii), (iii) et (iv)
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Exemple 2.1∫1. Supposons que µ =
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Nous pouvons donc considérer une s
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Nous pouvons énoncer une propriét
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• Étant donné que pour tout n
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Alors, A ∈ A et A c ∈ A car les
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Nous pouvons prolonger F i en une f
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Proposition 2.27 (Riemann-intégrab
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2.5.3 L’essentiel de la section 2
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• Fixons n ∈ N. Notons que par
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