Intégration et Probabilités

2. Montrons que σ(S 2 ) = B(R).• Étant donné que S 2 ⊂ F, d’après la proposition 1.4 page 5,σ(S 2 ) ⊂ σ(F) = B(R). (1.7)• Soit A ∈ S 1 un intervalle ouvert. Alors A c ∈ σ(S 2 ) (car A c est une réunion dénombrable d’intervallesfermés). La tribu σ(S 2 ) étant stable par passage au complémentaire, A ∈ σ(S 2 ). Par conséquent, S 1 ⊂ σ(S 2 ).Alors,σ(S 1 ) = B(R) ⊂ σ(S 2 ) (1.8)car σ(S 1 ) est la plus petite tribu sur R contenant S 1 .Vu les inclusions (1.7) et (1.8), B(R) = σ(S 2 ).3. Montrons que σ(S 3 ) = σ(S 4 ) = B(R).• Étant donné que S 4 ⊂ S 2 , d’après la proposition 1.4 page 5,n=1σ(S 4 ) ⊂ σ(S 2 ) = B(R). (1.9)• Soit I ∈ S 3 . Par définition de S 3 , il existe (a,b) ∈ R 2 tel que a < b et I = [a,b[. Alors,+∞ ⋃(]I = [a,b[= −∞,b − 1 ] ⋂]−∞,a − 1 ] c ).nnLa tribu σ(S 4 ) étant stable par passage au complémentaire et intersection dénombrable, I ∈ σ(S 4 ). Parconséquent, S 3 ⊂ σ(S 4 ) car pour tout c ∈ R, ] − ∞,c] ∈ S 4 ⊂ σ(S 4 ). Alors, étant donné que σ(S 3 ) est laplus petite tribu sur R contenant S 3 ,σ(S 3 ) ⊂ σ(S 4 ). (1.10)• Remarquons que R =]a,+∞[=+∞ ⋃n=1+∞ ⋃n=1[−n,n[. De plus, pour tout (a,b) ∈ R 2 ,[a + 1 [+∞n ,n ⋃, ] − ∞,b[=n=1[−n,b − 1 [net, si a < b, ]a,b[=+∞ ⋃n=1[a + 1 n ,b − 1 [.nAlors, par stabilité par réunion dénombrable de σ(S 3 ) qui contient S 3 , R ∈ σ(S 3 ), ]a,+∞[∈ σ(S 3 ) et]a,b[∈ σ(S 3 ) pour tous réels a,b tels que a < b. Ainsi, S 1 ⊂ σ(S 3 ). Étant donné que σ(S 3) est une tribu surR contenant S 1 ,σ(S 1 ) = B(R) ⊂ σ(S 3 ). (1.11)Vu les inclusions (1.9), (1.10) et (1.11), B(R) = σ(S 3 ) = σ(S 4 ).1.5.2 Preuve de la proposition 1.14, voir énoncé page 9Considérons (µ n ) n∈Ndes mesures positives sur (Ω, A) et (α n ) n∈N∈]0,+∞] N . En adoptant les conventions+∞ × 0 = 0 et +∞ × +∞ = +∞, nous allons montrer que l’applicationµ = ∑ n∈Nα n µ n : A → [0,+∞]A ↦→ ∑ n∈Nα n µ n (A) (1.12)est bien définie et est une mesure positive sur (Ω, A). En particulier, nous aurons montré que ∑ n∈Nα n δ an estbien une mesure positive.19