Intégration et Probabilités

avec µ(B 0 ) < +∞. Par conséquent, d’après l’assertion 2. de la proposition 1.19 page 11,( ) ( )⋃ ⋂µ n = µ(B 0 ) − µ nn∈NAn∈NBcar µ (⋂ n∈N B n) µ(B0 ) < +∞. En appliquant l’assertion 1. de la proposition 1.20 (assertion démontrée)à la suite croissante (A n ) n∈N, nous obtenons alors :( ) ( )⋂ ⋃n nn∈NBn∈NAµ(B 0 ) − µ= µ= limk→+∞ µ(A k).De plus, pour tout n ∈ N, d’après l’assertion 2. de la proposition 1.19 page 11,µ(A n ) = µ(B 0 ) − µ(B n )car µ(B n ) µ(B 0 ) < +∞ (par croissance de µ pour l’inclusion). Par conséquent,( ) ⋂nn∈NBµ(B 0 ) − µ= lim µ(A k) = µ(B 0 ) − lim µ(B k),k→+∞ k→+∞Alors,µ( ⋂n∈NB n)= limk→+∞ µ(B k)car µ(B 0 ) < +∞.1.5.5 Preuve du corollaire 1.26, voir énoncé page 14Considérons une fonction X : Ω −→ Ω ′ .• Si X : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) est mesurable, alors pour tout A ′ ∈ S ′ , X −1 (A ′ ) ∈ A car S ′ ⊂ A ′ .• Réciproquement, supposons que pour tout A ′ ∈ S ′ , X −1 (A ′ ) ∈ A. Considérons l’ensembleMontrons que T est une tribu sur Ω ′ .(i) Par définition, T ⊂ P(Ω ′ ) car A ′ ⊂ P(Ω ′ ).T = {A ′ ∈ A ′ /X −1 (A ′ ) ∈ A}.(ii) A étant une tribu sur Ω, X −1 (Ω ′ ) = Ω ∈ A. Alors, par définition de T , Ω ′ ∈ T .(iii) Soit B ∈ T . Alors, X −1 (B) ∈ A. La tribu A étant une tribu, X −1 (B c ) = X −1 (B) c ∈ A. Ainsi, pardéfinition de T , B c ∈ T . Ceci étant vrai pour tout B ∈ T , T est stable par passage au complémentaire.(iv) Soit (B n ) n∈N une famille de T . Remarquons queX −1 ( ⋃n∈NB n)= ⋃ n∈NX −1 (B n ).Pour tout n ∈ N, X −1 (B n ) ∈ A. Alors, par stabilité par réunion dénombrable de la tribu A,( ) ⋃X −1 B n = ⋃n∈N n∈NX −1 (B n ) ∈ Aet donc ⋃ n∈N B n ∈ T . Ceci étant vrai pour toute famille (B n ) n∈Nde T , T est stable par réuniondénombrable.23