Intégration et Probabilités

Théorème 3.40 (Décomposition de la loi d’une variable aléatoire)Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R d de loi P X. Il existe alors une fonction borélienne positive f Xdéfinie sur R d (unique à une égalité λ d -presque partout près) et une unique mesure µ s positive singulièrepar rapport à la mesure de Lebesgue telle quedP X= f Xdλ d + dµ s ,c’est-à-dire telle que pour tout A ∈ B ( ∫R d) , P X(A) = f Xdλ d + µ s (A).ANous nous intéressons plus particulièrement au cas où la partie singulière est une mesure discrète.Proposition 3.41Soient F Xla fonction de répartition d’une variable aléatoire X et (x i ) i∈I, avec I = {1,... ,n} ou I = N ∗une famille strictement croissante de réels. Si la fonction F Xest C 1 sauf peut-être en x i , i ∈ I, alorsdP X= f Xdλ d + ∑ i∈Ip i dδ xiavec pour tout i ∈ I, p i = F X(x i ) − F X(xi−)le saut de la fonction FX en x i et f X= F ′ X λ d-presquepartout.Remarque 3.8 Sous les hypothèses de la proposition précédente, en général, f Xµ s = ∑ i∈I p i δ xi n’est pas une probabilité. En fait,1 = P X(R d) (= f Xdλ d + µ s R∫R d) .dn’est pas une densité etExemple 3.7 Considérons la fonction F : R → R définie par⎧⎨ √0 si t < 0F(t) = t si t ∈ [0,1/4[⎩1 si t ∈ [1/4,+∞[.La fonction F étant croissante continue à droite telle que lim x→+∞ F(x) = 1 et lim x→−∞ F(x) = 0, il s’agitde la fonction de répartition d’une variable aléatoire réelle X. En appliquant la proposition précédente,avec f : R → R + définie par f(t) = 12 √ t 1 ]0,1/4[(t).dP X= f dλ 1 + 1 2 dδ 1/43.6 Lois marginales d’un vecteur aléatoireLorsque X est une variable aléatoire à valeurs dans un espace produit, nous pouvons nous intéresser à laloi de ses coordonnées.Définition 3.42 (Lois marginales)Soit X = (X 1 ,... ,X d ) une variable aléatoire à valeurs dans R d . La loi de la variable aléatoire X i estappelée loi marginale de la ième composante.70