Intégration et Probabilités

4.3 Espaces L p et L p sur un espace de probabilitéSoit P une probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, A).4.3.1 Moments d’une variable aléatoireRappelons les définitions des espaces L p et L p sur l’espace de probabilité (Ω, A, P).Définition 4.19 (Espaces L p (Ω, A, P) et L p (Ω, A, P))1. Si p ∈ [1,+∞[, L p (Ω, A, P) est l’ensemble des variables aléatoires X à valeurs dans R telles queE(|X| p ) < +∞.2. L ∞ (Ω, A, P) est l’ensemble des variables aléatoires X à valeurs dans R pour lesquelles il existec ∈ R + tel que|X| c P-presque sûrement.Par ailleurs, pour tout X ∈ L 0 (Ω, A, P),‖X‖ ∞= inf {c ∈ R + / |X| c presque sûrement}.3. Pour tout p ∈ [1,+∞], L p (Ω, A, P) est l’ensemble de classes d’équivalence des éléments deL p (Ω, A, P) pour la relation d’équivalenceX ∼ Y ⇐⇒ X = Y presque sûrement.Rappelons que les espaces L p (Ω, A, P), p 1 sont des espaces de Banach. Nous énoncerons les inégalitésclassiques sur ces espaces en section 4.3.2.Proposition 4.20Soit p ∈ [1,+∞]. L’espace L p (Ω, A, P) est un espace de Banach pour la norme définie par{‖X‖p = (E(|X| p )) 1/p si 1 p < +∞‖X‖ ∞= inf {c 0; |X| c presque sûrement}Nous définissons maintenant la notion de moments d’une variable aléatoire.Définition 4.21 (Moment d’une variable aléatoire)Soit X : (Ω, A) → ( R, B ( R )) une variable aléatoire à valeurs dans R et p ∈ N ∗ .1. La variable aléatoire X admet un moment d’ordre p siE(|X| p ) < +∞,c’est-à-dire si X ∈ L p (Ω, A, P). De plus, si X ∈ L p (Ω, A, P), le moment d’ordre p de X est leréel E(X p ).2. La variable aléatoire X est centrée si X admet un moment d’ordre 1 nul.85