Intégration et Probabilités

Exemple 1.3 Si A 1 = P(Ω 1 ) et si A 2 = {∅,Ω 2 }, alors A 1 ⊗ A 2 = {A 1 × Ω 2 /A 1 ∈ A 1 }.Notation : Lorsque Ω 1 = · · · = Ω n et A 1 = · · · = A d = A, nous posons A ⊗d = A}⊗ ·{{· · ⊗ A}.d foisIntéressons-nous à présent au cas où chaque tribu A i est engendrée par un ensemble S i .Proposition 1.9 (Ensembles engendrant A 1 ⊗ · · · ⊗ A d )Si pour tout 1 i d, A i = σ(S i ) est la tribu engendrée par S i sur Ω i , alors A 1 ⊗ · · · ⊗ A d est la tribuengendrée parS = {A 1 × · · · × A d /A i ∈ S i , 1 i d}sur l’ensemble Ω 1 × · · · × Ω d .Terminons cette partie en remarquant que la tribu borélienne sur R d est une tribu produit.Proposition 1.10 (Tribu B ( R d) )Pour tout d ∈ N ∗ , B(R) ⊗d = B(R d ).Remarque 1.4 À partir des propositions 1.9, 1.10 et 1.6, nous pouvons décrire plusieurs ensembles S engendrantla tribu borélienne B ( R d) .(Remarque 1.5 Nous avons aussi : B R d) = B ( R ) ⊗d.1.2 Mesure positive1.2.1 DéfinitionsDéfinition 1.11 (Mesure positive)Soit (Ω, A) un espace mesurable. Une application µ définie sur A est une mesure positive sur (Ω, A)si elle vérifie les trois assertions suivantes :(i) µ est à valeurs dans [0,+∞],(ii) µ(∅) = 0,(iii) µ est σ-additive, c’est-à-dire queµ( ⋃n∈NA n)= ∑ n∈Nµ(A n ), (1.2)pour toute suite (A n ) n∈Nd’éléments de A deux à deux disjoints (c’est-à-dire telle que pour toutn ∈ N, A n ∈ A et que A p ∩ A m = ∅ pour tous p,m ∈ N tels que p ≠ m).Si µ est une mesure positive sur (Ω, A), le triplet (Ω, A,µ) est appelé espace mesuré.7