Intégration et Probabilités

2. Montrons l’assertion 2. de la proposition 1.19.Soient A,B ∈ A. Alors, par stabilité par réunion finie de la tribu A, A ∪ B ∈ A et donc µ(A ∪ B) est biendéfini. De même par stabilité par intersection fini de A, µ(A ∩ B) est bien défini.Remarquons que A ∪ B = A ∪ (B\A). Les ensembles A et B\A sont disjoints et appartiennent à A (carA,B ∈ A et car A est une tribu). Alors, par additivité de la mesure µ,µ(A ∪ B) = µ(A) + µ(B\A).D’où, µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B\A) + µ(A ∩ B).De plus, les ensembles B\A ∈ A et A ∩ B ∈ A sont disjoints et (B\A) ∪ (A ∩ B) = B. Alors, par additivitéde la mesure µ,µ(B\A) + µ(A ∩ B) = µ(B).Par conséquent,µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B\A) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B).3. Montrons l’assertion 3. de la proposition 1.19.• Supposons I infini dénombrable. Nous pouvons alors supposer I = N. Considérons alors (A n ) n∈Nune suited’éléments de A. Posons A ′ 0 = A 0 et pour tout n ∈ N ∗ ,n−1⋃A ′ n = A n \ A k =k=0n−1⋂k=0A n ∩ A c k .Alors les A ′ n, n ∈ N, sont des éléments de A (car A est stable par intersection finie et passage aucomplémentaire) deux à deux disjoints. De plus,A 0 ∪ · · · ∪ A n = A ′ 0 ∪ · · · ∪ ⋃A′ n et n =n∈NA ⋃ A ′ n .n∈NPar conséquent, par σ-additivité de la mesure µ,( ) ( )⋃ ⋃µ n = µ An∈NA ′ n = ∑n∈N n∈Nµ(A ′ n ) = limAinsi, par additivité de µ,µ( ⋃n∈NA n)k→+∞n=0k∑µ(A ′ n ).= limk→+∞ µ(A′ 0 ∪ · · · ∪ A′ k ) (1.13)car les ensembles A ′ 0 ,... ,A′ k∈ A sont deux à deux disjoints.De plus, pour tout A,B ∈ A, en appliquant l’assertion 2. de la proposition 1.19 (assertion démontrée) et enutilisant la positivité de µ, nous constatons queµ(A ∪ B) µ(A) + µ(B).En raisonnant par récurrence sur n, nous montrons alors que( k) (⋃k)⋃µ = µ A n n=0D’où, en faisant tendre k → +∞ dans (1.14) et en utilisant (1.13), nous avons :A ′ nµ( ⋃n∈NA n)n=021+∞∑n=0k∑µ(A n ). (1.14)n=0µ(A n ).