Intégration et Probabilités

Intéressons-nous au cas des fonctions a priori non positives.Théorème 2.24 (Théorème de Fubini)Soient (Ω 1 , A 1 ,µ 1 ) et (Ω 2 , A 2 ,µ 2 ) deux espaces mesurés complets avec µ i , i ∈ {1,2}, une mesure positiveσ-finie sur (Ω i , A i ). Considérons une fonction mesurablef : (Ω 1 × Ω 2 , A 1 ⊗ A 2 ) → ( R, B ( R )) .∫1. Alors, f est µ 1 ⊗ µ 2 -intégrable ⇐⇒ ω 2 ↦→ |f(ω 1 ,ω 2 )|dµ 1 (ω 1 ) est µ 2 -intégrable sur Ω 2Ω∫ 1⇐⇒ ω 1 ↦→ |f(ω 1 ,ω 2 )|dµ 2 (ω 2 ) est µ 1 -intégrable sur Ω 1 .Ω 22. Supposons que f est µ 1 ⊗ µ 2 -intégrable. Alors,∫- la fonction ω 2 ↦→ f(ω 1 ,ω 2 )dµ 1 (ω 1 ) est µ 2 -intégrable,Ω 1∫- et la fonction ω 1 ↦→ f(ω 1 ,ω 2 )dµ 2 (ω 2 ) est µ 1 -intégrable.Ω 2De plus,∫Ω 1(∫)f(ω 1 ,ω 2 )dµ 2 (ω 2 ) dµ 1 (ω 1 ) =Ω 2=∫Ω 2(∫∫∫)f(ω 1 ,ω 2 )dµ 1 (ω 1 )Ω 1dµ 2 (ω 2 ) (2.5)Ω 1 ×Ω 2f(ω 1 ,ω 2 )d(µ 1 ⊗ µ 2 )(ω 1 ,ω 2 ).∫∫Remarque 2.8 Les fonctions ω 1 ↦→presque partout.f(ω 1 ,ω 2 )dµ 2 (ω 2 ) et ω 2 ↦→Ω 2f(ω 1 ,ω 2 )dµ 1 (ω 2 ) sont a priori définiesΩ 1Preuve du théorème 2.24.1. Pour établir l’assertion 1., il suffit de remarquer que f est intégrable si et seulement si |f| l’est etd’utiliser le théorème de Fubini-Tonelli pour calculer l’intégrale de |f|.2. Supposons f intégrable. Écrivons f sous la forme f = f − f . Posons+ −F 1 + (ω 1) =∫f +(ω 1 ,ω 2 )dµ 2 (ω 2 ) etΩ 2F 2 + (ω 2) =∫f +(ω 1 ,ω 2 )dµ 1 (ω 1 ).Ω 1Nous définissons Fi − en remplaçant f +par f −dans la définition de Fi + . D’après le théorème deFubini-Tonelli, Fi+ : (Ω i , A i ) → ([0,+∞], B([0,+∞])) est mesurable pour i = 1,2. Par ailleurs,∫∀ω 1 ∈ Ω 1 , 0 F 1 + (ω 1) |f(ω 1 ,ω 2 )|dµ 2 .Ω 2car 0 f + |f|. Alors, d’après l’assertion 1., F 1 + est µ 1-intégrable. De même, F 2 + est µ 2-intégrableet Fi − est µ i -intégrable pour i = 1,2. En particulier, pour tout i ∈ {1,2}, Fi+ et Fi− sont finiesµ i -presque partout. Alors, pour i ∈ {1,2} et j ∈ {1,2}\{i},∫F i = fdµ j = Fi+ − Fi− µ i -presque partout.Ω j39