Intégration et Probabilités

2. Par ailleurs, pour tous réels a,b tels que a < b,⎧P X(]a,b]) = P(a < X b) = F X(b) − F X(a),( )P⎪⎨X([a,b]) = P(a X b) = F X(b) − F a− X ,( )P X([a,b[) = P(a X < b) = F b− X − FX (a),( )P X([a,+∞[) = P(X a) = 1 − F a− X ,⎪⎩P X(]a,+∞[) = P(X > a) = 1 − F X(a).3. Enfin, F Xadmet au plus un nombre fini ou dénombrable de points de discontinuité.Preuve de la proposition 3.9.• Soient t,s ∈ R tels que s t. Alors, ] − ∞,s] ⊂] − ∞,t] et donc d’après la proposition 1.19 (voirchapitre 1 page 11), c’est-à-dire par croissance de P X,F X(s) = P X(] − ∞,s]) P X(] − ∞,t]) = F X(t).L’inégalité précédente étant vraie pour tous t,s ∈ R tels que s t, la fonction F Xest croissante sur R.• La continuité à droite de F X, la propriété (3.2) et la propriété (3.3) s’obtiennent en utilisant la continuitémonotone de P X(voir page 12) ou le théorème de Beppo Levi (voir page 35).• Pour tous réels a,b tels que a < b,P X(]a,b]) = P X(] − ∞,b]∩] − ∞,a] c ) = P X(] − ∞,b]) − P X(] − ∞,a]) = F X(b) − F X(a)et P X([a,b]) = P X(] − ∞,b]∩] − ∞,a[ c ) = P X(] − ∞,b]) − P X(] − ∞,a[) = F X(b) − F X(a − ).Les autres formules données dans l’assertion 2. se démontrent de manière analogue.• La fonction F X étant croissante continue à droite, l’ensemble de ses points de discontinuité estS = ⋃{}( ) 1D n avec D n = x ∈ R / F X(x) − F x− X .nn∈N ∗Étant donné que 0 F X 1 et que F Xest croissante, pour tout n ∈ N ∗ , D n est de cardinal fini carcardD nn ∑ x∈D n(FX (x) − F X(x−)) 1. Par conséquent, S est un ensemble fini ou dénombrable. Remarque 3.4 Soit F : R → [0,1] une fonction croissante et continue à droite telle quelim F(x) = 1 et limx→+∞F(x) = 0.x→−∞Alors il existe une variable aléatoire réelle X définie sur sur ([0,1], B([0,1]),λ 1 ) de fonction de répartition F.La loi d’une variable aléatoire réelle est caractérisée par sa fonction de répartition. Il s’agit d’une simpleapplication du corollaire A.6 page 95.Proposition 3.10 (Caractérisation de la loi d’une variable aléatoire réelle)Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur l’espace de probabilité (Ω, A, P). Alors, lesvariables aléatoires X et Y ont même fonction de répartition si et seulement si elles ont même loi.55