Intégration et Probabilités

Preuve du corollaire A.6.1. Notons T l’ensemble des réunions finies des intervalles de R. Alors, T est une algèbre sur Ω. FixonsT ∈ T . Alors, il existe (J n ) n∈Nune famille d’intervalles deux à deux disjoints tels queT = ⋃ n∈NJ n .Alors, en utilisant la σ-additivité de µ et de ν et le fait que µ et ν coïncident sur l’ensemble desintervalles, nous avons :µ(T) = ∑ µ(J n ) = ∑ n ) = ν(T).n∈N n∈Nν(JPar suite, µ et ν coïncident sur l’algèbre des parties T et donc sur B(R) = σ(T ) d’après la propositionA.5.2. Supposons les hypothèses de l’assertion 2. vérifiées. Nous pouvons alors montrer que ν et µcoïncident sur l’ensemble des intervalles (utiliser µ(A c ) = µ(Ω) − µ(A), ν(A c ) = ν(Ω) − ν(A)et la continuité monotone de µ et ν).96