Intégration et Probabilités

3. Considérons A ∈ A et la loi de la variable aléatoire réelle X = 1 A . Alors,⎧P(∅) = 0 si 1 /∈ B et 0 /∈ B,P X(B) = P ( X −1 (B) ) ⎪⎨P(X = 1) = P(A) si 1 ∈ B et 0 /∈ B,=P(X = 0) = 1 − P(A) si 1 /∈ B et 0 ∈ B,⎪⎩1 si 1 ∈ B et 0 ∈ B.La loi de X est P X= (1 − p)δ 0 +pδ 1 avec p = P(A). Cette loi appelée loi de Bernoulli de paramètre p.3.2.2 Intégration par rapport à une mesure imagePrécisons le lien entre l’intégrale par rapport à une mesure image de µ et l’intégrale par rapport à µ.Théorème 3.5 (Théorème de transport)Soient (Ω, A,µ) un espace mesuré, (Ω ′ , A ′ ) un espace mesurable, X : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) une fonctionmesurable et ϕ : (Ω ′ , A ′ ) → ( R, B ( R )) une fonction mesurable. Notons µ Xla mesure image de µ par X.1. Si ϕ est à valeurs dans [0,+∞], alors,∫∫ϕ(x)µ X(dx) =Ω ′Ωϕ(X(ω))µ(dω).2. La fonction ϕ est µ X-intégrable si et seulement si ϕ ◦ X est µ-intégrable.3. Si ϕ ◦ X est µ-intégrable, alors∫∫ϕ(x)µ X(dx) =Ω ′Ωϕ(X(ω))µ(dω).Remarque 3.2 L’assertion 1. du théorème 3.5 reste vraie pour toute fonction mesurable à valeurs dans [0,+∞]µ-presque partout. De plus, si ϕ : (Ω, A) → ( R, B ( R )) est une fonction mesurable, alors,ϕ ∈ [0,+∞] µ-presque partout ⇐⇒ ϕ(X) ∈ [0,+∞] µ X-presque partout.Preuve du théorème 3.5.1. • Étape 1 : Cas des fonctions étagées positives. Par définition, pour tout B ∈ A,∫1 B (x)µ X(dx) = µ X(B) = µ ( X −1 (B) ) ∫∫= 1 X −1 (B)(ω)µ(dω) = 1 B (X(ω))µ(dω).Ω ′ ΩΩPar additivité des intégrales sur l’ensemble des fonctions étagées positives, pour toute fonctionétagée ϕ : Ω → [0,+∞], ∫∫ϕ(x)µ X(dx) = ϕ(X(ω))µ(dω)Ω ′ Ω• Étape 2 : Cas des fonctions mesurables positives. Soit ϕ : Ω → [0,+∞] une fonctionmesurable. Alors, il existe (ϕ n ) n∈Nune suite croissante de fonctions étagées sur (Ω, A) à valeursdans [0,+∞] convergeant simplement vers ϕ. Par définition de l’intégrale de ϕ par rapport à µ Xetd’après l’étape 1. appliquée à chaque ϕ n ,∫∫∫Ω ′ ϕ(x)µ X(dx) = limn→+∞Ω ′ ϕ n (x)µ X(dx) = limn→+∞52Ωϕ n (X(ω))µ(dω).