Intégration et Probabilités

• Vérifions que la suite de fonctions (f n ) n∈Nconverge simplement vers f.Fixons ω ∈ Ω.1 er cas. Supposons f(ω) = +∞. Alors, pour tout n ∈ N ∗ , f n (ω) = n et donclim f n(ω) = +∞ = f(ω).n→+∞2 nd cas. Supposons que f(ω) ∈ R + . Alors, pour n assez grand, |f(ω)| < n etAlors, limn→+∞ f n(ω) = f(ω).|f(ω) − f n (ω)| 12 n .Ainsi, nous venons de montrer que pour tout ω ∈ Ω, la suite (f n (ω)) n∈Nconverge vers f(ω).2.6.2 Preuve de la proposition 2.5, voir énoncé page 28La preuve de la proposition repose sur le lemme suivant. Nous rappelons que nous ne pouvons utiliser queles résultats établis avant la section 2.1.2.Lemme 2.31Soit (h n ) n∈Nune suite croissante de fonctions étagées à valeurs dans [0,+∞]. Si g est une fonctionétagée à valeurs dans [0,+∞] telle quealors,∫Ω∫g dµ lim h n dµ.n→+∞Ω∀ω ∈ Ω,g(ω) limn→+∞ h n(ω),Preuve du lemme 2.31. Fixons t ∈]0,1[ et M ∈ R ∗ +. PosonsΩ n = {ω ∈ Ω /h n (ω) t min (g(ω),M)}pour tout n ∈ N. En utilisant la mesurabilité des fonctions h n , n ∈ N et de la fonction g, on peut vérifier queΩ n ∈ A pour tout n ∈ N. Par ailleurs, pour tout n ∈ N, Ω n ⊂ Ω n+1 car h n h n+1 .• Montrons que Ω = ⋃ n∈N Ω n. Il est clair que ⋃ n∈N Ω n ⊂ Ω. Fixons ω ∈ Ω.1er cas : g(ω) = 0. Alors, pour tout n ∈ N, h n (ω) 0 = t min (g(ω),M) et ω ∈ ⋃ n∈N Ω n.2nd cas : g(ω) ∈]0, +∞]. Alors, lim h n(ω) g(ω) min (g(ω),M) > t min (g(ω),M) car t ∈]0,1[ etn→+∞min (g(ω),M) ∈ R ∗ +. Par conséquent, il existe n 0 ∈ N tel que pour tout entier n n 0 ,En particulier, ω ∈ ⋃ n∈N Ω n.h n (ω) > t min (g(ω),M).Ainsi, par double inclusion, nous venons de montrer que Ω = ⋃ n∈N Ω n.45