Intégration et Probabilités

Proposition 3.33 (Fonction de répartition de la loi E(λ))La fonction de répartition F Xd’une variable aléatoire réelle X de loi exponentielle E(λ) est donnée parF X(x) ={ 0 si x 0,1 − e −x/λ si x > 0.10.90.80.70.60.50.40.30.20.10−1 0 1 2 3 4 5 6Figure 3.4 – Fonction de répartition de la loi E(1)Corollaire 3.34Si a ∈]0,+∞[ et si X est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ ∈]0,+∞[, alors aXsuit la loi exponentielle de paramètre aλ.Preuve du corollaire 3.34. On peut soit appliquer la proposition 3.27 soit procéder comme suit. Notons F aXla fonction de répartition de aX. Alors, par définition, pour tout t ∈ R,(F aX(t) = P X t ) { 0 si t 0,=a 1 − e −t/(aλ) si t > 0.Par suite, F aXest la fonction de répartition de la loi exponentielle E(aλ) et donc aX suit la loi E(aλ).Nous terminons cette section en introduisant les lois gaussiennes. Ces lois sont très importantes car elles sonttrès fréquemment utilisées pour la modélisation de phénomènes aléatoires et car elles apparaissent naturellementdans certains résultats limites (voir la loi des grands nombres et le théorème central limite dans le chapitre 8).Nous commençons par définir la loi gaussienne centrée réduite.Définition 3.35 (Loi gaussienne centrée réduite)Une variable aléatoire réelle X est dite gaussienne centrée réduite, ou de loi gaussienne centréeréduite si sa loi est absolument continue de densitéf 0,1: R −→ Rx ↦−→ 1 √2πe − x2 2Nous expliquerons dans le chapitre suivant les qualificatifs ≪ centrée, réduite ≫. Introduisons à présent entoute généralité les variables aléatoires gaussiennes réelles.67