Intégration et Probabilités

Remarque 1.1 En probabilités, un espace mesurable (Ω, A) est appelé espace probabilisable.Exemple 1.1 Soit Ω un ensemble non vide.1. P(Ω) est la plus grande tribu (au sens de l’inclusion) sur Ω. Elle est appelée tribu triviale sur Ω.2. A = {∅,Ω} est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) sur Ω. Elle est appelée tribu grossière sur Ω.3. Soit A ∈ P(Ω) tel que A ≠ ∅ et A ≠ Ω. Alors A = {∅,A,Ω\A,Ω} est une tribu sur Ω.En jouant sur les points (i), (ii) et (iii) de la définition 1.1, la notion de tribu peut aussi être définie grâceà la proposition suivante.Proposition 1.2 (Caractérisation d’une tribu)Soit Ω un ensemble non vide et A ⊂ P(Ω). Alors, A est une tribu sur Ω si les trois assertions suivantessont vérifiées :(i) ∅ ∈ A,(ii) A est stable par passage au complémentaire,(iii) A est stable par intersection dénombrable, c’est-à-dire quesi (A n ) n∈Nest une suite d’éléments de A, alors ⋂ n∈NA n ∈ A.Remarque 1.2 Une tribu est bien sûr stable par réunion finie et par intersection finie.1.1.2 Tribu engendrée par un ensemble de partiesLa proposition suivante assure l’existence d’une plus petite tribu A sur Ω contenant un ensemble S ⊂ P(Ω),ensemble qui caractérise alors la tribu A.Proposition 1.3 (Tribu engendrée)Soient Ω un ensemble non vide et S ⊂ P(Ω) un ensemble non vide de parties de Ω. Alors il existe uneunique tribu σ(S) sur Ω contenant S et telle quesi B est une tribu sur Ω contenant S, alors σ(S) ⊂ B.La tribu σ(S) est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) sur Ω contenant S et est appelée tribuengendrée par S sur Ω.Preuve de la proposition 1.3.• Preuve de l’existence. Considérons l’ensemble T (S) = {A / A tribu sur Ω telle que S ⊂ A}. Alors,P(Ω) ∈ T (S). Ainsi, T (S) ≠ ∅ et nous pouvons alors considérerσ(S) =⋂A. (1.1)A∈T (S)En tant qu’intersection de tribus sur Ω, σ(S) est aussi une tribu sur Ω (exercice). De plus, par définition,la tribu σ(S) contient S et est incluse dans toute autre tribu B sur Ω contenant S.4