Intégration et Probabilités

Nous terminons cette section en généralisant la proposition 2.3. Les propriétés regroupées dans cette propositionseront énoncées dans un cadre plus général lorsque nous aurons fini la construction de l’intégrale ausens de Lebesgue (voir proposition 2.17 page 34).Proposition 2.8Soient f : (Ω, A) → ([0,+∞], B([0,+∞])) et g : (Ω, A) → ([0,+∞], B([0,+∞])) deux fonctions mesurablesà valeurs dans [0,+∞].∫ ∫1. Si f g alors f dµ g dµ.∫2. De plus,ΩΩΩf dµ = 0 ⇐⇒ f = 0 µ-presque partout.Preuve de la proposition 2.8. Soient f et g deux fonctions mesurables à valeurs dans [0,+∞].D’après la proposition 2.4, il existe (f n ) n∈Net (g n ) n∈Ndeux suites croissantes de fonctions étagées àvaleurs dans [0,+∞] telles que∀ω ∈ Ω, f(ω) = limn→+∞ f n(ω) etg(ω) = limn→+∞ g n(ω).1. Supposons f g. Alors, pour tout n ∈ N, g n ∈ E + et g n g f. D’où, d’après la proposition 2.7,∫ ∫∀n ∈ N, g n dµ f dµEn faisant tendre n → +∞, nous obtenons :∫∫g dµ = limn→+∞ΩΩΩΩ∫g n dµ Ωf dµ.2. • Supposons que f est µ-presque partout nulle. Pour tout n ∈ N, étant donné que 0 f n f, f nest aussi µ-presque partout nulle. Alors, d’après la proposition 2.3,∫∀n ∈ N, f n dµ = 0.∫Et donc, par définition,• Réciproquement supposons queΩΩ∫f dµ = lim f n dµ = 0.n→+∞Ω∫f dµ = 0. Alors, pour tout n ∈ N,Ω∫∀n ∈ N, 0 Ω∫f n dµ Ωf dµ = 0∫Ωf n dµ = 0 card’après la proposition 2.7 (vu que f n ∈ E + et f n f).Alors, d’après la proposition 2.3, pour tout n ∈ N, f n est nulle µ-presque partout, c’est-à-dire queA n = {f n ≠ 0} est négligeable. D’après la proposition 1.31 page 17,A = ⋃ n∈NA nest aussi négligeable. De plus, f = limn→+∞ f n = 0 sur A c et donc f est nulle µ-presque partout.29