Intégration et Probabilités

• Fixons n ∈ N. Notons que par définition de Ω n ,h n h n 1 Ωn t min (g,M)1 Ωn .De plus, la fonction t min (g,M)1 Ωn est une fonction étagée à valeurs dans [0,+∞] car g n en est une et cart,M ∈ R + . Alors, d’après la proposition 2.3, la fonction h n étant elle-même étagée positive,∫ ∫∫h n dµ t min(g,M)1 Ωn dµ = t min (g,M)1 Ωn dµ.La fonction g étant étagée à valeurs dans [0,+∞],ΩΩΩg =m∑α i 1 Aii=1avec m ∈ N, (α i ) 1im∈ [0,+∞] m et (A i ) 1im∈ A m une famille d’ensembles mesurables formant unepartition de Ω. Alors,m∑min (g,M)1 An = min (α i ,M)1 Ai ∩Ω n.Les ensembles A i ∩ Ω n , 1 i m, étant dans A,∫min (g,M)1 Ωn dµ =Ωi=1m∑min (α i ,M) µ(A i ∩ Ω n ).i=1Par conséquent, pour tout n ∈ N,∫Ωh n dµ tm∑min (α i ,M) µ(A i ∩ Ω n ) (2.6)i=1• Pour tout 1 i m, la suite (A i ∩ Ω n ) n∈Nest une suite croissante de A, donc par continuité monotone(proposition 1.20 page 12) de µ,( ) ⋃i ∩ Ω nn∈NAlim µ(A i ∩ Ω n ) = µn→+∞= µ(A i ∩ Ω) = µ(A i ).(∫ )De plus, la suite h n dµ d’éléments de [0,+∞] admet une limite dans [0,+∞] car elle est croissante.Ω n∈NAlors, en faisant tendre n → +∞ dans (2.6) (qui est vérifiée pour tout n ∈ N), nous obtenons :∫lim h n dµ tn→+∞Ωm∑min(α i ,M) µ(A i ).i=1En faisant tendre t → 1 puis M → +∞ dans l’inégalité précédente, nous obtenons :∫lim h n dµ n→+∞Ωm∑∫α i µ(A i ) =i=1Ωg dµ.Nous pouvons à présent démontrer la proposition 2.5.46