Intégration et Probabilités

Définition 3.36 (Variable aléatoire réelle gaussienne)Une variable aléatoire réelle X est dite gaussienne ou de loi gaussienne si il existe (a,m) ∈ R × R etune variable aléatoire réelle X 0 de loi gaussienne centrée réduite tels queX = aX 0 + m presque sûrement.Comme le décrit la proposition suivante, si X est une variable aléatoire réelle gaussienne, alors soit X estpresque sûrement constante soit la loi de X est absolument continue.Proposition 3.37Si X est une variable aléatoire réelle gaussienne, alors,1. il existe m ∈ R tel que X = m presque sûrement (c’est-à-dire que X est presque sûrement constante)et dans ce cas la loi de X est δ m ,2. il existe (m,σ) ∈ R × R ∗ + telle que la loi de X est absolument continue de densitéouf m,σ 2 : R −→ Rx ↦−→ 1 √2πσe −(x−m)2 2σ 2 .Si m ∈ R et si σ ∈ R ∗ +, N ( m, σ 2) désigne la loi gaussienne de densité f m,σ 2. Par convention, si m ∈ R,N(m,0) désigne la loi δ m (une telle loi est appelée loi gaussienne dégénérée).Preuve de la proposition 3.37. Presque sûrement X = aX 0 + m avec X 0 une variable aléatoire gaussiennecentrée réduite et (a,m) ∈ R × R.• 1 er cas : Supposons a = 0. Alors, X = m presque sûrement et sa loi est δ m .• 2 nd cas : Supposons a ≠ 0. Alors, pour toute fonction g : R → R borélienne bornée,∫E(g(X)) = E(g(aX 0 + m)) = g(ay + m)f 0,1(y)dy = √ 1 ∫g(ay + m)e −y2 /2 dy2πRcar f 0,1est la densité de X 0 . Nous pouvons effectuer le changement de variable x = ay + m car a ≠ 0.Nous constatons alors que pour toute fonction g : R → R borélienne bornée,∫∫1E(g(X)) = √ g(x)e −(x−m)2 /(2a 2) dx = g(x)f (x)dx2π|a| m,σ 2RRRavec σ = |a|. Ceci signifie que la loi de X est la loi de densité f m,σ 2 .Par définition, il est clair que si une variable aléatoire réelle Y est une fonction affine d’une variable aléatoireréelle gaussienne X alors Y est aussi une variable aléatoire gaussienne.68