Intégration et Probabilités

Preuve de la proposition 1.29.• Supposons d = 1. La suite (X n ) n∈Nconvergeant simplement vers X,{ }∀t ∈ R, {X t} = lim X n tn→+∞= ⋂p∈N ∗ ⋃⋂n∈N mn{X m t + 1 }.pLes variables X k , k ∈ N, étant mesurables, pour tout m ∈ N, tout p ∈ N ∗ et tout t ∈ R,{X m t + 1 } ([= X −1 −∞,t + 1 ])∈ App[ ]car −∞,t + 1 p∈ B ( R ) . La tribu A étant stable par réunion dénombrable et intersection dénombrable,∀t ∈ R, {X t} = ⋂p∈N ∗ ⋃⋂n∈N mn{X m t + 1 }∈ A.pD’après la proposition 1.26, l’application X est mesurable car B ( R ) = σ({[−∞,t]/t ∈ R}) .• Le cas d 2 est une conséquence de la première partie de cette preuve et du corollaire 1.28.Terminons cette section par un exemple.Exemple 1.10 Considérons l’applicationoù [y] désigne la partie entière du réel y.f : R −→ R × Rx ↦−→ (cos(x),[x])• La fonction cos étant continue sur R, elle est borélienne d’après le corollaire 1.27.• La fonction partie entière étant constante par morceaux sur R, elle est borélienne d’après la remarque 1.18.Alors, d’après le corollaire 1.28, l’application f est borélienne car B ( R 2) = B(R) ⊗ B(R).1.4 Ensembles négligeablesJetons une pièce de monnaie équilibrée une infinité de fois. L’évènement ≪ la pièce tombe toujours sur face ≫est un évènement non vide de probabilité nulle ; il s’agit d’un évènement négligeable. La notion d’ensemblesnégligeables joue un rôle important en théorie de la mesure (voir par exemple le chapitre 4).Définition 1.30 (Ensemble négligeable)Soit (Ω, A,µ) un espace mesuré.1. Une partie N de Ω est dite µ-négligeable si∃A ∈ A tel que N ⊂ A et µ(A) = 0.2. Une propriété Π(ω) qui dépend de ω ∈ Ω est dite vraie µ-presque partout si l’ensemble{ω ∈ Ω /Π(ω) est fausse} est µ-négligeable.16