Intégration et Probabilités

Preuve de la proposition 3.13. Nous pouvons supposer que I = {1,... ,n} ou N ∗ .1. Soit X : (Ω, A) → (E, E) une variable aléatoire à valeurs P-presque sûrement dans l’ensemble S.Supposons que p i est défini par (3.4).• La mesure P X étant positive, p i 0 pour tout i ∈ I. De plus, ∑ i∈Ip i = P X (S) = 1.• Étant donné que P X (S) = P(X ∈ S) = 1, P X (Sc ) = P(X ∈ S c ) = 0. Alors,∀B ∈ E, P X(B ∩ S c ) = P(X ∈ B ∩ S c ) = 0par croissance de P X. Par suite, par additivité de P X,∀B ∈ E, P X(B) = P X(B ∩ S) + P X(B ∩ S c ) = P X(B ∩ S).Par ailleurs, pour tout B ∈ E, les ensembles B ∩ {x i }, i ∈ I, sont des éléments de la tribu E (car Econtient les singletons et B) deux à deux disjoints etB ∩ S = ⋃ i∈IB ∩ {x i }.Alors, par additivité (respectivement σ-additivité) de P Xsi I est fini (respectivement si I est infinidénombrable),∀B ∈ E, P X(B) = ∑ P X(B ∩ {x i }) = ∑ p i δ xi (B)i∈Ii∈Iavec p i défini par (3.4). Par suite, P X= ∑ i∈Ip i δ xi .2. Soit (p i ) i∈Iune famille de réels telle que∀i ∈ I, p i 0 et telle que ∑ i∈Ip i = 1.Posons Ω = [0,1] et supposons que P = λ 1 est la mesure de Lebesgue sur [0,1]. ConsidéronsX = x 1 1 [0,p1 ] + ∑j∈I\{1}x i 1 ]p1 +···+p i−1 ,p 1 +···+p i ]. (3.5)Notons que X est bien définie sur [0,1] car les p i sont positifs et de somme égale à 1. De plus, Xest une fonction étagée donc une variable aléatoire. Les x i étant deux à deux distincts,et pour tout i ∈ I\{1},P(X = x 1 ) = λ 1 ([0,p 1 ]) = p 1⎛⎡∑i−1P(X = x i ) = λ 1⎝⎣p j ,j=1⎡⎞i∑p j⎣⎠ = p iDe plus, X prend bien ses valeurs dans S = {x i /i ∈ I}. La variable X vérifiant les hypothèsesde l’assertion 1. et les p i , i ∈ I, étant donnés par (3.4), la loi de X est bien la mesure discrèteP X= ∑ p i δ xi .i∈Ij=1Réécrivons le théorème du transport pour une variable aléatoire discrète.57