Intégration et Probabilités

Exemple 2.91. Considérons la fonction f : [1,+∞[→ R définie par f(x) = x −p .• La fonction f est continue sur I = [1,+∞[. Elle est donc Lebesgue-intégrable sur I si et seulement sielle est Riemann-intégrable sur I, c’est-à-dire si et seulement si p > 1.• Si p > 1, alors d’après la proposition 2.29,∫[1,+∞[1x pλ 1(dx) = R∫ +∞11x pdx = 1p − 1 .• Si p 1, la fonction f n’est pas Lebesgue-intégrable sur I et donc, comme elle est positive,∫1x pλ 1(dx) = +∞.[1,+∞[2. Considérons la fonction f :]0,+∞[→ R définie par f(x) = sin (x)/x. Cette fonction est continue surl’intervalle I =]0,+∞[ mais n’est pas Riemann-intégrable sur I (intégrale non absolument convergente).Par suite, d’après la proposition 2.29, f n’est pas Lebesgue-intégrable sur I.2.5.2 Intégration et dérivation• Soit f une fonction continue sur [a,b]. Alors la fonction∫F : x ↦→∫est C 1 sur [a,b] et F ′ = f car pour tout x,[a,x]f dλ 1 = R[a,x]∫ xaf dλ 1• Soit F une fonction C 1 sur [a,b]. Alors,∫∀x ∈ [a,b], F(x) = F(a) +car R∫ xa∫F ′ (t)dt =[a,x]f(t)dt. Que peut-on dire si f n’est pas continue ?[a,x]F ′ dλ 1 .F ′ dλ 1 par continuité de F ′ . Que peut-on dire si F n’est plus C 1 ?La théorème suivant répond en partie aux deux questions précédentes.Théorème 2.301. Soient f : [a,b] → R une fonction Lebesgue-intégrable sur [a,b] et c ∈ R. Considérons la fonctionF : [a,b] → R définie par∫F(x) = c + f(t)λ 1 (dt), x ∈ [a,b].[a,x]Alors, la fonction F : [a,b] → R est continue sur [a,b], dérivable λ 1 -presque partout sur [a,b] etF ′ = f λ 1 -presque partout.2. Soit F : [a,b] → R une fonction dérivable sur [a,b]. Si la dérivée F ′ de F est Lebesgue-intégrablesur [a,b], alors∫∀x ∈ [a,b], F(x) = F(a) + F ′ (t)λ 1 (dt).[a,x]Si la fonction F est simplement dérivable en presque tout point, alors en général l’assertion 2. n’est pasvérifiée.43