Intégration et Probabilités

Remarque 2.5 Soit (Ω, A µ ,µ) l’espace complet associé à l’espace (Ω, A,µ) (voir chapitre 1, théorème 1.32).Soit f : (Ω, A) → ( R, B ( R )) une application mesurable. Alors, f est aussi mesurable par rapport aux tribusA µ et B ( R ) . De plus, f est µ-intégrable sur Ω si et seulement si f est µ-intégrable sur Ω. Par ailleurs, si f estµ-intégrable, alors∫ ∫f dµ = f dµ.ΩNous pouvons donc sans perte de généralité supposer que les espaces mesurés (Ω, A,µ) considérés sont complets.Ω2.3 Théorèmes de convergenceDans cette partie, nous supposons (pour simplifier les énoncés) que l’espace (Ω, A, µ) estcomplet. Cette partie énonce trois résultats essentiels : le théorème de convergence monotone, le lemme deFatou et le théorème de convergence dominée. Commençons par étudier les suites croissantes de fonctionspositives.Théorème 2.19 (Théorème de convergence monotone ou théorème de Beppo Levi)Pour tout n ∈ N, soit f n : (Ω, A) → ( R, B ( R )) une fonction mesurable. Supposons que pour tout n ∈ N,f n ∈ [0,+∞] µ-presque partout et f n f n+1 µ-presque partout.Nous notons f la limite (définie presque partout) de la suite (f n ) n∈N. Alors,∫ ∫lim f n dµ = f dµ.n→+∞Ω ΩRemarque 2.6 Dans le théorème de Beppo Levi, la fonction f est a priori seulement définie µ-presque partout.Par convention, l’intégrale de f sur Ω désigne l’intégrale d’un de ses prolongements défini sur tout Ω. Bien sûr,la valeur de cette intégrale ne dépend pas du choix du prolongement. En général, nous prolongeons f par 0.Preuve du théorème 2.19. Nous prolongeons f par 0, ce qui définit une fonction encore notée f mesurable carl’espace (Ω, A,µ) est complet. De plus, par hypothèse, la suite (f n ) n∈N converge µ-presque partout versf et pour tout n ∈ N,0 f n f µ-presque partout.(∫ )Notons tout d’abord que d’après la proposition 2.17, la suite f n dµ est une suite croissante de[0,+∞] donc admet une limite dans [0,+∞].Ω n∈N• Pour toute fonction étagée g à valeurs dans [0,+∞] telle que g f, nous pouvons montrer que∫∫g dµ lim f n dµ.n→+∞ΩIl suffit pour cela de suivre la preuve du lemme 2.31 (lemme donné en annexe, voir page 45). Alors,d’après la proposition 2.7,{∫} ∫∫sup g dµ /g étagée à valeurs dans [0,+∞], g f = f dµ lim f n dµ. (2.4)ΩΩn→+∞ΩΩ35